Question

9．已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，當n≥2時，（a_n-S_n-1）²=S_nS_n-1，且a₁=1，設(shè)b_n=log₂$\frac{{a}_{n+1}}{3}$，則b₁+b₂+…+b_n=n²-n．

Answer 1

分析 當n≥2時，（a_n-S_n-1）²=S_nS_n-1，利用遞推關(guān)系可得：$（{S}_{n}-2{S}_{n-1}）^{2}$=S_nS_n-1，展開化簡可得：S_n=4S_n-1，利用等比數(shù)列的通項公式可得S_n．利用遞推關(guān)系可得a_n，利用對數(shù)的運算性質(zhì)、等差數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：當n≥2時，（a_n-S_n-1）²=S_nS_n-1，即$（{S}_{n}-2{S}_{n-1}）^{2}$=S_nS_n-1，展開化為：（S_n-S_n-1）（S_n-4S_n-1）=0，
∵正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，∴S_n≠S_n-1．
∴S_n=4S_n-1，
∴數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列，首項為1，公比為4．
∴S_n=4^n-1．
∴n≥2，a_n=S_n-S_n-1=4^n-1-4^n-2=3×4^n-2．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{3×{4}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
∴b_n=log₂$\frac{{a}_{n+1}}{3}$=$lo{g}_{2}{2}^{2n-2}$=2n-2，
則b₁+b₂+…+b_n=$\frac{n（0+2n-2）}{2}$=n²-n．
故答案為：n²-n．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、對數(shù)的運算性質(zhì)、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．