Question

2008年奧運會在中國舉行，某商場預(yù)計2008年從1日起前x個月，顧客對某種奧運商品的需求總量p（x）件與月份x的近似關(guān)系是且x≤12），該商品的進價q（x）元與月份x的近似關(guān)系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）．
（1）寫出今年第x月的需求量f（x）件與月份x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該商品每件的售價為185元，若不計其他費用且每月都能滿足市場需求，則此商場今年銷售該商品的月利潤預(yù)計最大是多少元？

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得，第x個月的需求量等于第x個月的需求總量減去第x-1個月的需求總量，故當(dāng)x=1時，f（1）=p（1），當(dāng)2≤x≤12時，f（x）=p（x）-P（x-1）；
（2）根據(jù)月利潤=該商品每件的利潤×月銷售量，列出關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)求最值求解即可．
解答：解：（1）當(dāng)x=1時，f（1）=p（1）=37．（2分）
當(dāng)2≤x≤12時，且x≤12）（5分）
驗證x=1符合f（x）=-3x²+40x，∴f（x）=-3x²+40x（x∈N*且x≤12）．（7分）
（2）該商場預(yù)計銷售該商品的月利潤為g（x）=（-3x²+40x）（185-150-2x）=6x³-185x²+1400x，（x∈N*且x≤12），
令h（x）=6x³-185x²+1400x（1≤x≤12），h'（x）=18x²-370x+1400，令h'（x）=0，解得（舍去）．（10分）
當(dāng)1≤x＜5時，h'（x）＞0；當(dāng)5＜x≤12時，h'（x）＜0．
∴當(dāng)x=5時，h（x）取最大值h（5）=3125．（12分）
∴當(dāng)x=5時，g（x）_max=g（5）=3125（元）．
綜上，5月份的月利潤最大是3125元．（14分）
點評：本題考查利用函數(shù)知識解決應(yīng)用題的有關(guān)知識．新高考中的重要的理念就是把數(shù)學(xué)知識運用到實際生活中，如何建模是解決這類問題的關(guān)鍵．同時要熟練地利用導(dǎo)數(shù)的知識解決函數(shù)的求最值問題．