Question

5．如圖，已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，且滿足AF⊥BF，設(shè)∠ABF=α，且α∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]，則橢圓離心率e的取值范圍為（　�。�

• A． [$\sqrt{3}$-1，$\frac{2}{3}$]
• B． [$\sqrt{3}$-1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]
• C． [2-$\sqrt{3}$，$\frac{2}{3}$]
• D． [2-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]

Answer 1

分析 通過(guò)設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F′，連接AF′、BF′構(gòu)造矩形AFBF′，用α的三角函數(shù)值表示|AF|、|BF|，進(jìn)而利用離心率公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F′，連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′為矩形．
因此|AB=|FF′|=2c，
∵|AF|+|BF|=2a，|AF|=2csinα，|BF|=2ccosα，
∴2csinα+2ccosα=2a，′
∴e=$\frac{1}{sinα+cosα}$=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，
又∵α∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]，
∴α+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{12}$]，sin（α+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$]，
∵$\frac{1}{e}$=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$]，
∴e∈[$\sqrt{3}$-1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)、兩角差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，注意解題方法的積累，屬于難題．