老師告訴學生小明說，“若O為△ABC所在平面上的任意一點，且有等式
OP
=
OA
+λ(
AB
cosC
|
AB
|
+
AC
cosB
|
AC
|
)，則P點的軌跡必過△ABC的垂心”，小明進一步思考何時P點的軌跡會通過△ABC的外心，得到的條件等式應為
OP
=
OP
=
OB
+
OC
2
+λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)
OP
=
OB
+
OC
2
+λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)
．（用O，A，B，C四個點所構(gòu)成的向量和角A，B，C的三角函數(shù)以及λ表示）
分析：由題意可得：
BC
•（
AB
|
AB
| cosB
+
AC
|
AC
| cosC
）=0，即 
BC
與λ（
AB
|
AB
| cosB
+
AC
|
AC
| cosC
）垂直，設(shè)D為BC的中點，則
OB
+
OC
2
=
OD
，可得λ（
AB
|
AB
| cosB
+
AC
|
AC
| cosC
）=
DP
，即可得到
BC
•
DP
=0，進而得到點P在BC的垂直平分線上，即可得到答案．
解答：解：由題意可得：
BC
•（
AB
|
AB
| cosB
+
AC
|
AC
| cosC
）=-|
BC
|+|
BC
|=0
∴
BC
與λ（
AB
|
AB
| cosB
+
AC
|
AC
| cosC
）垂直
設(shè)D為BC的中點，則
OB
+
OC
2
=
OD
，
所以
OP
=
OB
+
OC
2
+λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)，即
OP
=
OD
+λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)，
所以λ（
AB
|
AB
| cosB
+
AC
|
AC
| cosC
）=
DP
，
因為
BC
與λ（
AB
|
AB
| cosB
+
AC
|
AC
| cosC
）垂直
所以
BC
•
DP
=0，
又∵點D為BC的中點，
∴點P在BC的垂直平分線上，即P的軌跡會通過△ABC的外心．
故答案為：
OP
=
OB
+
OC
2
+λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)．
點評：本題主要借助于類比推理重點考查了平面向量的加減法運算與數(shù)量積運算，并且也考查了三角形的五心等知識點，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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老師告訴學生小明說，“若O為△ABC所在平面上的任意一點，且有等式
OP
=
OA
+λ(
AB
cosC
|
AB
|
+
AC
cosB
|
AC
|
)，則P點的軌跡必過△ABC的垂心”，小明進一步思考何時P點的軌跡會通過△ABC的外心，得到的條件等式應為
OP
=______．（用O，A，B，C四個點所構(gòu)成的向量和角A，B，C的三角函數(shù)以及λ表示）

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