Question

13．已知在直角坐標系xOy中，圓錐曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），定點A（0，-$\sqrt{3}$），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是圓錐曲線C的左、右焦點，直線l過點A，F(xiàn)₁．
（1）求圓錐曲線C及直線l的普通方程；
（2）設(shè)直線l與圓錐曲線C交于E，F(xiàn)兩點，求弦EF的長．

Answer 1

分析 （1）圓錐曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1，可得普通方程．可得橢圓的左焦點F₁（-$\sqrt{3}$，0），又直線l還經(jīng)過點$（0，-\sqrt{3}）$，可得直線l的截距式方程．
（2）直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立化為$5{x}^{2}+8\sqrt{3}x$+8=0，利用|EF|=$\sqrt{（1+1）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：（1）圓錐曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
利用cos²θ+sin²θ=1，可得普通方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
可得橢圓的左焦點F₁（-$\sqrt{3}$，0），
又直線l還經(jīng)過點$（0，-\sqrt{3}）$，
可得直線ld的方程為：$\frac{x}{-\sqrt{3}}$+$\frac{y}{-\sqrt{3}}$=1，即x+y+$\sqrt{3}$=0．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y+\sqrt{3}=0}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為$5{x}^{2}+8\sqrt{3}x$+8=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，x₁x₂=$\frac{8}{5}$．
∴|EF|=$\sqrt{（1+1）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2×（\frac{64×3}{25}-4×\frac{8}{5}）}$=$\frac{8}{5}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直線截距式、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．