Question

如圖，有一塊正方形區(qū)域ABCD，現(xiàn)在要?jiǎng)澇鲆粋�(gè)直角三角形AEF區(qū)域進(jìn)行綠化，滿足：EF=1米，設(shè)角AEF=θ，θ∈[

π

6

，

π

3

]，邊界AE，AF，EF的費(fèi)用為每米1萬(wàn)元，區(qū)域內(nèi)的費(fèi)用為每平方米4萬(wàn)元．
（1）求總費(fèi)用y關(guān)于θ的函數(shù)．
（2）求最小的總費(fèi)用和對(duì)應(yīng)θ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出三角形的各邊長(zhǎng)和面積，然后表示出費(fèi)用即可．
（2）令t=sinθ+cosθ，則y=t²+t，判斷出在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，繼而求出最值．

解答： 解：（1）由題意可知，AE=cosθ，AF=sinθ，S△AEF=

1

2

sinθcosθ
則y=(sinθ+cosθ+1)×1+

1

2

sinθcosθ×4
即 y=sinθ+cosθ+1+2sinθcosθ，θ∈[

π

6

，

π

3

]
（2）令t=sinθ+cosθ，則2sinθcosθ=t²-1
又t=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)，θ∈[

π

6

，

π

3

]所以t∈[

1+ 3

2

，

2

]
則y=t²+t，它在[

1+ 3

2

，

2

]單調(diào)遞增．
所以t=

1+ 3

2

，即θ=

π

6

或θ=

π

3

時(shí)，y取到最小值

3

2

+

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)解析式的求法和最值得求法，屬于基礎(chǔ)題．