Question

19．設(shè)P：$\overrightarrow a$=（m，m-1，m+1）與$\overrightarrow b$=（1，4，2）的夾角為銳角．Q：點(diǎn)（m，1）在橢圓$\frac{x^2}{6}$+$\frac{y^2}{3}$=1的外部．若P與Q有且只有一個(gè)正確，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出關(guān)于p，q為真時(shí)的m的范圍，通過(guò)討論p，q的真假，得到關(guān)于m的不等式組，解出即可．

解答 解：關(guān)于命題p：$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為銳角，
所以$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$＞0但不同向
∵$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=m+4（m-1）+2（m+1）=8m-2，
∴8m-2＞0解得m＞$\frac{1}{4}$，
當(dāng)$\overline{a}$，$\overrightarrow$同向時(shí)，存在λ＞0使$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow$，
即 $\left\{\begin{array}{l}{m=λ}\\{m-1=4λ}\\{m+1=2λ}\end{array}\right.$，解得：m=1，
故p為真時(shí)：{m|m＞$\frac{1}{4}$且m≠1}；
關(guān)于命題q：點(diǎn)（m，1）在橢圓$\frac{x^2}{6}$+$\frac{y^2}{3}$=1的外部，
則$\frac{{m}^{2}}{6}$+$\frac{1}{3}$＞1，解得：m＞2或m＜-2，
若P與Q有且只有一個(gè)正確，
則$\left\{\begin{array}{l}{m＞\frac{1}{4}且m≠1}\\{-2≤m≤2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≤\frac{1}{4}}\\{m＞2或m＜-2}\end{array}\right.$，
故m的范圍是：（$\frac{1}{4}$，1）∪（1，2]∪（-∞，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題的判斷，考查向量以及橢圓問(wèn)題，是一道中檔題．