【題目】若函數(shù)f（x）滿足：f（﹣x）+f（x）=ex+e﹣x ， 則稱f（x）為“e函數(shù)”．
（1）試判斷f（x）=ex+x3是否為“e函數(shù)”，并說明理由；
（2）若f（x）為“e函數(shù)”且 ，
（�。┣笞C：f（x）的零點(diǎn)在 上；
（ⅱ）求證：對任意a＞0，存在λ＞0，使f（x）＜0在（0，λa）上恒成立．

【答案】
（1）解：∵f（﹣x）+f（x）=e﹣x﹣x3+ex+x3=ex+e﹣x，

∴f（x）為“e函數(shù)”


（2）證明：∵f（﹣x）+f（x）=ex+e﹣x①，

②

∴①+②得： ，∴ ．

（�。遹=ex與 均為增函數(shù)，∴f（x）在（0，+∞）上為贈(zèng)函數(shù)，

又ex＞0，∴f（x）的唯一零點(diǎn)必在（0，+∞）上．

∵f（ ）= ﹣2= ﹣2＜0，f（2）=e2﹣ ＞0，

∴f（x）的唯一零點(diǎn)在（ ，2）上．

（ⅱ）由（�。┲琭（x）的零點(diǎn)x0∈（ ，2），且f（x0）=0，

又f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，∴f（x）＜0在（0，x0）上恒成立，

∴對任意a＞0，存在λ= ＞0，使f（x）＜0在（0，λa）上恒成立


【解析】（1）由f（﹣x）+f（x）=ex+e﹣x ， 可判斷f（x）=ex+x3是“e函數(shù)”；（2）若f（x）為“e函數(shù)”且 ，（�。┯捎趛=ex與 均為增函數(shù)，可知f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，通過計(jì)算知f（ ）= ﹣2＜0，f（2）=e2﹣ ＞0，利用零點(diǎn)存在定理即可證得：f（x）的零點(diǎn)在 上；（ⅱ）由（�。┲�，f（x）的零點(diǎn)x0∈（ ，2），且f（x0）=0，從而可證：對任意a＞0，存在λ＞0，使f（x）＜0在（0，λa）上恒成立．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)全集U=R，已知集合A={x||x﹣a|≤1}，B={x|（4﹣x）（x﹣1）≤0}．
（1）若a=4，求A∪B；
（2）若A∩B=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)y1=loga（3x+1），y2=loga（﹣3x），其中a＞0且a≠1．
（1）若y1=y2 ， 求x的值；
（2）若y1＞y2 ， 求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，AB是圓O的直徑，PB是圓O的切線，過A點(diǎn)作AE∥OP交圓O于E點(diǎn)，PA交圓O于點(diǎn)F，連接PE．

（1）求證：PE是圓O的切線；
（2）設(shè)AO=3，PB=4，求PF的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3﹣3x
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若方程x3﹣3x﹣a+1=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】共享單車是指企業(yè)在校園、地鐵站點(diǎn)、公交站點(diǎn)、居民區(qū)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等提供自行車單車共享服務(wù)，是共享經(jīng)濟(jì)的一種新形態(tài).一個(gè)共享單車企業(yè)在某個(gè)城市就“一天中一輛單車的平均成本（單位：元）與租用單車的數(shù)量（單位：千輛）之間的關(guān)系”進(jìn)行調(diào)查研究，在調(diào)查過程中進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得出相關(guān)數(shù)據(jù)見下表：

租用單車數(shù)量（千輛）

2

3

4

5

8

每天一輛車平均成本（元）

3.2

2.4

2

1.9

1.7

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，研究人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型，得到兩個(gè)回歸方程，方程甲： ，方程乙： .

(1)為了評價(jià)兩種模型的擬合效果,完成以下任務(wù):

①完成下表(計(jì)算結(jié)果精確到0.1)(備注: ,稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差(也叫隨機(jī)誤差));

租用單車數(shù)量 (千輛)

2

3

4

5

8

每天一輛車平均成本 (元)

3.2

2.4

2

1.9

1.7

模型甲

估計(jì)值

2.4

2.1

1.6

殘差

0

-0.1

0.1

模型乙

估計(jì)值

2.3

2

1.9

殘差

0.1

0

0

②分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和及,并通過比較的大小,判斷哪個(gè)模型擬合效果更好.

(2)這個(gè)公司在該城市投放共享單車后，受到廣大市民的熱烈歡迎，共享單車常常供不應(yīng)求，于是該公司研究是否增加投放.根據(jù)市場調(diào)查，這個(gè)城市投放8千輛時(shí)，該公司平均一輛單車一天能收入10元，6元收入的概率分別為0.6，0.4；投放1萬輛時(shí)，該公司平均一輛單車一天能收入10元，6元收入的概率分別為0.4，0.6.問該公司應(yīng)該投放8千輛還是1萬輛能獲得更多利潤？（按（1）中擬合效果較好的模型計(jì)算一天中一輛單車的平均成本，利潤=收入-成本）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(2)若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；

(3)設(shè)為正實(shí)數(shù)，且，求證： ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)f（x）=log （x2﹣9）的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A.（0，+∞）
B.（﹣∞，0）
C.（3，+∞）
D.（﹣∞，﹣3）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=4x+a2x+3，a∈R
（1）當(dāng)a=﹣4時(shí)，且x∈[0，2]，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若f（x）＞0在（0，+∞）對任意的實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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