Question

下表給出一個“等差數(shù)陣”：

4	7	（    ）	（    ）	(　　  )	…	A1j	…
7	12	（    ）	（    ）	(　　  )	…	A2j	…
（    ）	（    ）	(　　  )	（    ）	(　　  )	…	A3j	…
（    ）	（    ）	(　　  )	（    ）	(　　  )	…	A4j	…
…	…	…	…	…	…	…	…
Ai1	Ai2	Ai3	Ai4	Ai5	…	Aij	…
…	…	…	…	…	…	…	…

 其中每行、每列都是等差數(shù)列，A_ij表示位于第i行第j列的數(shù).

（1）寫出A₄₅的值；

（2）寫出A_ij的計算公式；

（3）證明：正整數(shù)N的該等差數(shù)陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積.

Answer 1

答案：
解析：

（1）A45=49. （2）該等差數(shù)陣的第一行是首項為4，公差為3的等差數(shù)列：Alj=4+3（j－1）, 第二行是首項為7，公差為5的等差數(shù)列：A2j=7+5（j－1）, …… 第i行是首項為4+3（i－1），公差為2i+1的等差數(shù)列， 因此Aij=4+3（j－1）+(2i+1)(j－1) =2ij+i+j=i(2j+1)+j, (3)必要性：若N在該等差數(shù)陣中，則存在正整數(shù)i、j使得N=i(2j+1)+j, 從而2N+1=2i(2j+1)+2j+1 =(2i+1)(2j+1). 即正整數(shù)2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積. 充分性：若2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積，由于2N+1是奇數(shù)，則它必為兩個不是1的奇數(shù)之積，即存在正整數(shù)k、l,使得2N+1=（2k+1）(2l+1) , 從而N= k(2l+1)+l=Akl, 可見N在該等差數(shù)陣中. 綜上所述，正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積.