在三棱錐A－BCD中，側面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD＝，BD＝CD＝1，另一個側面是正三角形

（1）  求證：AD^BC

（2）  求二面角B－AC－D的大小

（3）  在直線AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成30°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由。

解法一：（1）  方法一：作AH^面BCD于H，連DH。

AB^BDÞHB^BD，又AD＝，BD＝1

AB＝＝BC＝AC  BD^DC

又BD＝CD，則BHCD是正方形，則DH^BCAD^BC

方法二：取BC的中點O，連AO、DO

則有AO^BC，DO^BC，BC^面AOD

BC^AD

（2）  作BM^AC于M，作MN^AC交AD于N，則ÐBMN就是二面角B－AC－D的平面角，因為AB＝AC＝BC＝M是AC的中點，且MN¤¤CD，則BM＝，MN＝CD＝，BN＝AD＝，由余弦定理可求得cosÐBMN＝

ÐBMN＝arccos

（3）  設E是所求的點，作EF^CH于F，連FD。則EF¤¤AH，EF^面BCD，ÐEDF就是ED與面BCD所成的角，則ÐEDF＝30°。設EF＝x，易得AH＝HC＝1，則CF＝x，F(xiàn)D＝，tanÐEDF＝解得x＝，則CE＝＝1

故線段AC上存在E點，且CE＝1時，ED與面BCD成30°角。

解法二：此題也可用空間向量求解，解答略

練習冊系列答案
相關習題

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（06年江西卷理）（12分）

如圖，在三棱錐A－BCD中，側面ABD、ACD

是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，

且AD＝，BD＝CD＝1，另一個側面是正三角形

（1）求證：AD^BC

（2）求二面角B－AC－D的大小

（3）在直線AC上是否存在一點E，使ED與面BCD

成30°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年四川省綿陽市高三12月月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

如圖所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構成三棱錐A－BCD，則在三棱錐A－BCD中，下列命題正確的是(　　)

A. 平面ABD⊥平面ABC             B. 平面ADC⊥平面BDC

C. 平面ABC⊥平面BDC             D. 平面ADC⊥平面ABC

 

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(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；

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(3)當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是正方形

 

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如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.將△ADB沿BD折起，

使平面ABD⊥平面BCD，構成三棱錐A－BCD，則在三棱錐A－BCD中，下列命題正確的是(　　)

A．平面ADC⊥平面ABC

B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC

D．平面ABD⊥平面ABC

 

 

 

 

 

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在三棱錐A－BCD中，側棱AB、AC、AD兩兩垂直，△ ABC、△ACD、△ADB的面積分別為,,則三棱錐A－BCD的外接球的體積為______________．

 

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