(2012•鐘祥市模擬)如圖,已知橢圓
x2
2
+y2=1
內(nèi)有一點(diǎn)M,過(guò)M作兩條動(dòng)直線AC、BD分別交橢圓于A、C和B、D兩點(diǎn),若|
AB
|2+|
CD
|2=|
BC
|2+|
AD
|2


(1)證明:AC⊥BD;
(2)若M點(diǎn)恰好為橢圓中心O
(i)四邊形ABCD是否存在內(nèi)切圓?若存在,求其內(nèi)切圓方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(ii)求弦AB長(zhǎng)的最小值.
分析:(1)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),利用|
AB
|2+|
CD
|2=|
BC
|2+|
AD
|2
,即可證得
AC
BD
=0
,從而AC⊥BD;
(2)(i)根據(jù)AC⊥BD,由橢圓對(duì)稱性知AC與BD互相平分,所以四邊形ABCD是菱形,它存在內(nèi)切圓,設(shè)直線AB方程為:y=kx+m,利用圓心到直線的距離,可得r2=
m2
k2+1
;聯(lián)立 
y=kx+m
x2
2
+y2=1
,利用OA⊥OB,可得m2=
2
3
(1+k2)
,從而可求內(nèi)切圓的方程;
(ii)求出弦AB的長(zhǎng)|AB|=
3
2
m2
16(
3
2
m2-1)m2
[1+2(
3
2
m2-1)]
2
-8
(m2-1)
1+2(
3
2
m2-1)
=
12m2(2m2-1)
(3m2-1)2
,令3m2-1=t,則m2=
t+1
3
,所以|AB|=
12•
t+1
3
(2
t+1
3
-1)
t2
=
4
3
(-
1
t2
+
1
t
+2)
=
4
3
[-(
1
t2
-
1
2
)]
2
+
9
4
根據(jù)m2
2
3
,即可求得弦AB長(zhǎng)的最小值.
解答:(1)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4
|
AB
|2+|
CD
|2=|
BC
|2+|
AD
|2
(x1-x2)2+(y1-y2)2+(x3-x4)2+(y3-y4)2=(x2-x3)2+(y2-y3)2+(x1-x4)2+(y1-y4)2
展開(kāi)整理得:x1x2+y1y2+x3x4+y3y4=x2x3+y2y3+x1x4+y1y4
即x1(x2-x4)+x3(x4-x2)+y1(y2-y4)+y3(y4-y2)=0
∴(x1-x3)(x2-x4)+(y1-y3)(y2-y4)=0
AC
BD
=0

∴AC⊥BD….(4分)
(2)解:(i)∵AC⊥BD,由橢圓對(duì)稱性知AC與BD互相平分,
∴四邊形ABCD是菱形,它存在內(nèi)切圓,圓心為O,設(shè)半徑為r,直線AB方程為:y=kx+m
r=
|m|
k2+1
,即r2=
m2
k2+1

聯(lián)立 
y=kx+m
x2
2
+y2=1
得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0
△=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-2)>0,x1+x2=
-4mk
1+2k2
x1x2=
2m2-2
1+2k2

由(1)知OA⊥OB,
∴x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0
x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=0
2m2-2
1+2k2
+k2
2m2-2
1+2k2
+km
-4km
1+2k2
+m2=0

∴2m2-2+2m2k2-2k2-4k2m2+m2+2m2k2=0
m2=
2
3
(1+k2)

②代入①有:r2=
2
3

∴存在內(nèi)切圓,其方程為:x2+y2=
2
3
….(9分)
容易驗(yàn)證,當(dāng)k不存在時(shí),上述結(jié)論仍成立.
(ii)|AB|=
1+k2
•|x1-x2|=
1+k2
16k2m2
(1+2k2)2
-4
2m2-2
1+2k2

m2=
2
3
(1+k2)
k2=
3
2
m2-1≥0,m2
2
3

|AB|=
3
2
m2
16(
3
2
m2-1)m2
[1+2(
3
2
m2-1)]
2
-8
(m2-1)
1+2(
3
2
m2-1)
=
12m2(2m2-1)
(3m2-1)2

令3m2-1=t,則m2=
t+1
3

|AB|=
12•
t+1
3
(2
t+1
3
-1)
t2
=
4
3
(-
1
t2
+
1
t
+2)
=
4
3
[-(
1
t2
-
1
2
)]
2
+
9
4

m2
2
3
,∴
t+1
3
2
3
,故t≥1,∴0<
1
t
≤1

當(dāng)
1
t
=1
時(shí),|AB|min=
4
3
+2
=
2
6
3
,此時(shí)m2=
2
3
,k2=0

容易驗(yàn)證,當(dāng)k不存在時(shí),|AB|=
2
6
3
….(13分)
點(diǎn)評(píng):本題以橢圓方程為載體,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,考查橢圓與圓的綜合,考查圓中的弦長(zhǎng)的求解,挖掘隱含,熟練計(jì)算是關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•鐘祥市模擬)設(shè)x,y滿足
3x-y-6≤0
x-y+2≥0
x+y≥3
,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(a>0)最大值為14,則a為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•鐘祥市模擬)已知
a
=(1,2),
b
=(-3,2)
,當(dāng)k
a
+
b
a
-3
b
平行時(shí),k的值為
-
1
3
-
1
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•鐘祥市模擬)(選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)
已知直角坐標(biāo)系xoy中,直線l的參數(shù)方程為
x=t-3 
y=
3
(t為參數(shù))
.以直角坐標(biāo)系xOy中的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρcosθ+3=0,則圓心C到直線l距離為
5
3
2
5
3
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•鐘祥市模擬)已知點(diǎn)P為雙曲線
x2
a2
y2
b2
=1
(a,b>o),被斜率為1的直線截得的弦的中點(diǎn)為(4,1),該雙曲線離心率是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•鐘祥市模擬)如果關(guān)于x的不等式|x-1|+|x+2|<a的解集不是空集,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
(3,+∞)
(3,+∞)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案