Question

已知函數(shù)，.

(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(Ⅲ)設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，求證：．

 

Answer 1

【答案】

當(dāng)時(shí)，只有單調(diào)遞增區(qū)間;當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，,單調(diào)遞減區(qū)間為.;詳見解析.

【解析】

試題分析：先求出的導(dǎo)數(shù)，討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性得關(guān)系求出單調(diào)區(qū)間；當(dāng)x>1時(shí)，函數(shù)f(x)>g(x)恒成立轉(zhuǎn)化為>0恒成立.結(jié)合第問討論的單調(diào)區(qū)間得出的范圍；結(jié)合第問，令，，所以，再利用柯西不等式，，其中由條件.最后得證.

試題解析：（Ⅰ）易知,定義域是.

                                 1分

由的判別式

①當(dāng)即時(shí)，恒成立，則在單調(diào)遞增     2分

②當(dāng)時(shí)，在恒成立，則在單調(diào)遞增       3分

③當(dāng)時(shí)，方程的兩正根為

則在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增

綜上，當(dāng)時(shí)，只有單調(diào)遞增區(qū)間

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為    5分

（Ⅱ）即時(shí)，恒成立

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增  ∴當(dāng)時(shí)，滿足條件  7分

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減

則在單調(diào)遞減

此時(shí)不滿足條件

故實(shí)數(shù)的取值范圍為                                          9分

（Ⅲ）由（2）知，在恒成立

令 則          10分

∴                    11分

又

其中

∴                           13分

∴                                             14分

考點(diǎn)：1.函數(shù)的求導(dǎo)；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性；3.柯西不等式.