Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+2，當(dāng)x₀∈[1，+∞）時，恒有f（x₀）＞0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先求出二次函數(shù)f（x）的對稱軸x=a，所以討論a≤1和a＞1兩種情況，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性或取得頂點(diǎn)情況求出f（x）在[1，+∞）的最小值，所以只要該最小值大于0即可，這樣便可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：f（x）的對稱軸為x=a；
∴（1）a≤1時，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
∴f（x）在[1，+∞）上的最小值為f（1）=3-2a；
根據(jù)題意則有：3-2a＞0，a＜

3

2

；
∴此時a≤1；
（2）a＞1時，f（x）在[1，+∞）上的最小值為f（a）=-a²+2；
∴便有-a²+2＞0；
解得-

2

＜a＜

2

；
∴此時1＜a＜

2

；
綜上得實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，

2

）．

點(diǎn)評：考查二次函數(shù)的對稱軸，二次函數(shù)的單調(diào)性，以及二次函數(shù)的頂點(diǎn)，二次函數(shù)的最值．