已知函數(shù)f(x)=
4x
4x+2

(Ⅰ)求f(x)+f(1-x),x∈R的值;
(Ⅱ)若數(shù)列{an} 滿足an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)(n∈N*),求數(shù)列{an} 的通項公式;
(Ⅲ)若數(shù)列 {bn} 滿足bn=2n+1•an,Sn 是數(shù)列 {bn} 的前n項和,是否存在正實數(shù)k,使不等式knSn>4bn對于一切的n∈N*恒成立?若存在,請求出k的取值范圍;若不存在,請說明理由.
分析:(Ⅰ)由f(x)=
4x
4x+2
,能夠求出f(x)+f(1-x)=1.
(Ⅱ)由an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)(n∈N*),結(jié)合f(x)+f(1-x)=1,利用倒序相加法,能夠求出an=
n+1
2

(Ⅲ)由bn=2n+1•an,bn=(n+1)•2n,知Sn=2•21+3•22+4•23+…+(n+1)•2n,利用錯位相減法求出Sn=n•2n+1,要使不等式knSn>4bn對于一切的n∈N*恒成立,即kn2-2n-2>0對于一切的n∈N*恒成立.由此能夠求出k的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)∵數(shù)f(x)=
4x
4x+2
,
∴f(x)+f(1-x)
=
4x
4x+2
+
41-x
41-x+2

=
4x
4x+2
+
4
4+2•4x
=1
(Ⅱ)∵an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)(n∈N*),①
an=f(1)+f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)+…+f(
1
n
)+f(0)
,②
由(Ⅰ),知f(x)+f(1-x)=1
∴①+②,得2an=(n+1),∴an=
n+1
2

(Ⅲ)∵bn=2n+1•an,∴bn=(n+1)•2n,
∴Sn=2•21+3•22+4•23+…+(n+1)•2n,③
2Sn=2•22+3•23+4•24+…+(n+1)•2n+1,④
③-④,得-Sn=4+22+23+…+2n-(n+1)•2n+1,
Sn=n•2n+1,要使不等式knSn>4bn對于一切的n∈N*恒成立,
即kn2-2n-2>0對于一切的n∈N*恒成立.
∴k
2n+2
n2
對一切的n∈N*恒成立,
令f(n)=
2n+2
n2
=
2(n+1)
(n+1)2-2(n+1)+1
=
2
(n+1)+
1
n+1
-2

∵(n+1)+
1
n+1
在n∈N*是單調(diào)遞增的,
∴(n+1)+
1
n+1
的最小值為2+
1
2
=
5
2
,
∴f(n)min=
2
5
2
-2
=4,
∴k>4.
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列通項公式的求法,探索滿足條件的實數(shù)的取值范圍.解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意倒序相加法、錯位相減法的合理運(yùn)用.
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已知函數(shù)f(x)=
4(a-3)x+a+
1
2
(x<0)
ax,(x≥0)
,若函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,
1
8
),則a=
 
;若函數(shù)f(x)滿足對任意x1≠x2
f(x1)-f(x2)
x1-x2
<0
都有成立,那么實數(shù)a的取值范圍是
 

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已知函數(shù)f(x)=
4-x2
|x-3|-3
,則它是( 。
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C、既奇又偶函數(shù)D、非奇非偶函數(shù)

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4-x2(x>0)
2(x=0)
1-2x(x<0)
,
(1)求f(a2+1)(a∈R),f(f(3))的值;
(2)當(dāng)-4≤x<3時,求f(x)取值的集合.

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4•2x+2
2x+1
+x•cosx (-1≤x≤1)
,且f(x)存在最大值M和最小值N,則M、N一定滿足( 。

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已知函數(shù)f(x)=
4-x2(x>0)
2(x=0)
1-2x(x<0)
,
(1)畫出函數(shù)f(x)圖象;
(2)求f(a2+1)(a∈R),f(f(3))的值;
(3)當(dāng)-4≤x<3時,求f(x)取值的集合.

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