Question

已知二次函數(shù)h（x）=ax²+bx+c（c＞0），其導(dǎo)函數(shù)y=h′（x）的圖象如圖所示，f（x）=lnx-h（x）．
（1）求函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（，m+）上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若函數(shù)y=2x-ln x（x∈[1，4]）的圖象總在函數(shù)y=f（x）的圖象的上方，求c的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題知，h′（x）=2ax+b，其圖象為直線，
且過A（2，-1）、B（0，3）兩點(diǎn)，
∴，解得．
∴h（x）=-x²+3x+c．∴f（x）=ln x-（-x²+3x+c）=x²-3x-c+ln x．
∴f′（x）=2x-3+，∴f′（1）=2-3+=0，
所以函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率為0．
（2）由題意可知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
由（1）知，f′（x）=2x-3+==．
令f′（x）=0，得x=或x=1．
當(dāng)x變化時(shí)，f（x）、f′（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，）		（，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	?↗	極大值	?↘	極小值	?↗

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），（1，+∞）；f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（）．
要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（，m+）上是單調(diào)函數(shù)，
則，解得＜m≤．
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（，]．
（3）由題意可知，2x-lnx＞x²-3x-c+lnx在x∈[1，4]上恒成立，
即當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，c＞x²-5x+2lnx恒成立．
設(shè)g（x）=x²-5x+2lnx，x∈[1，4]，則c＞g（x）_max．易知g′（x）=2x-5+．令g′（x）=0得，x=或x=2．
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（2，4）時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增．
而g（1）=1²-5×1+2ln 1=-4，g（4）=4²-5×4+2ln 4=-4+4ln 2，
顯然g（1）＜g（4），故函數(shù)g（x）在[1，4]上的最大值為g（4）=-4+4ln 2，故c＞-4+4ln 2．
∴c的取值范圍為（-4+4ln 2，+∞）．
分析：（1）由導(dǎo)函數(shù)y=h′（x）的圖象過點(diǎn)A，B，可求出h′（x），從而可求出f′（x），f′（1），即所求斜率；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，則區(qū)間（，m+）為其一單調(diào)區(qū)間的子集，由此可解；
（3）函數(shù)y=2x-ln x（x∈[1，4]）的圖象總在函數(shù)y=f（x）的圖象的上方，等價(jià)于2x-ln x＞f（x）在x∈[1，4]上恒成立，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題處理即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，注意不等式恒成立的等價(jià)表述方式，解決不等式恒成立常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決．