Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，an+1=

an+1    n≤3 2an?? n≥4

（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{na_n}前100項的和S₁₀₀．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a_n+1和a_n的關(guān)系式，當(dāng)n≤3時，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，當(dāng)n≥4時，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，據(jù)此課求出數(shù)列{a_n}的通項公式，
（2）首先寫出{na_n}前100項的和的表達(dá)式，觀察表達(dá)式的結(jié)構(gòu)形式，把表達(dá)式各項乘以2，然后減去原先的表達(dá)式，進(jìn)而進(jìn)行等比數(shù)列求和．

解答：解：（1）根據(jù)題意，
當(dāng)n≤3時，a_n+1=a_n+1，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴a_n=n（n≤3），
當(dāng)n≥4時，a_n+1=2a_n，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-4（n≥4）
∴an=

n   n≤3 2n-2?n≥4

，
（2）S₁₀₀=a₁+2a₂+3a₃+4a₄+5a₅++100a₁₀₀
=1+2×2+3×3+4×2²+5×2³++100×2⁹⁸
設(shè)T=4×2²+5×2³+6×2⁴++99×2⁹⁷+100×2⁹⁸①
2T=4×2³+5×2⁴++99×2⁹⁸+100×2⁹⁹②
由①-②得：-T=4×2²+2³+2⁴++2⁹⁸-100×2⁹⁹
=2⁴+

23(1-296)

1-2

-100×2⁹⁹
=-99×2⁹⁹+8∴T=99×2⁹⁹-8；
∴S₁₀₀=99×2⁹⁹+6．

點評：本題主要考查數(shù)列求和的知識點，還考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，需要有較強(qiáng)的運算求解能力．