Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點．
（Ⅰ）試確定點F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；
（Ⅱ）當D₁E⊥平面AB₁F時，求二面角C₁-EF-A的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的性質

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）以A為原點，分別以直線AB、AD、AA₁為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法推導出當點F是CD的中點時，D₁E⊥平面AB₁F．
（Ⅱ）求出平面AEF的一個法向量和平面C₁EF的一個法向量，利用向量法能求出二面角C₁-EF-A的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）以A為原點，分別以直線AB、AD、AA₁為x軸、y軸、z軸，
建立空間直角坐標系，
設正方體的棱長為1，且DF=x，
則A₁（0，0，1），A（0，0，0），B（1，0，0），
D（0，1，0），B₁（1，0，1），D₁（0，1，1），
E（1，

1

2

，0），F(xiàn)（x，1，0），

D1E

=（1，-

1

2

，-1），

AB1

=（1，0，1），

AF

=（x，1，0），
由D₁E⊥面AB₁F，得

D1E

⊥

AB1

，且

D1E

⊥

AF

，
∴

D1E • AB1 =1+0+1=0 D1E • AF =x- 1 2 +0=0

，解得x=

1

2

，
所以當點F是CD的中點時，D₁E⊥平面AB₁F．
（Ⅱ）當D₁E⊥平面AB₁F時，
F是CD的中點，F(xiàn)（

1

2

，1，0）
由正方體的結構特征可得：平面AEF的一個法向量為

m

=（0，0，1），
設平面C₁EF的一個法向量為

n

=（x，y，z），
在平面C₁EF中，

EC1

=（0，

1

2

，1），

EF

=（-

1

2

，

1

2

，0），
∴

EC1 • n = 1 2 y+z=0 EF • n =- 1 2 x+ 1 2 y=0

，
取x=2，得平面C₁EF的一個法向量為

n

=（2，2，-1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

-1

3

=-

1

3

，
∴二面角C₁-EF-A的余弦值為

1

3

．

點評：本題考查使線面垂直的點的位置的確定，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．