Question

如圖在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB為直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分別為PC、CD的中點；PA=kAB（k＞0），且二面角E-BD-C的平面角大于30°，則k的取值范圍是（　　）

• A．k＞

  2 15

  15

• B．k＞

  2 15

  5

• C．0＜k＜

  2 15

  15

• D．0＜k＜

  2 15

  5

Answer 1

分析：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB的長為1，算出

BD

、

BE

的坐標(biāo)．利用垂直向量數(shù)量積為零的方法，建立方程組解出

n

=（2，1，-

2

k

）是平面EDB的一個法向量且平面CDB的一個法向量為

m

=（0，0，1），算出＜

m

，

n

＞的余弦之值，結(jié)合題意建立關(guān)于k的不等式，解之即可得到實數(shù)k的取值范圍．

解答：解：以A為原點，以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
設(shè)AB的長為1，則

BD

=（-1，2，0），

BE

=（0，1，

k

2

）
平面CDB的一個法向量為

m

=（0，0，1），
設(shè)平面EDB的一個法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • BD =-x+2y=0 n • BE =y+ 1 2 kz=0

，取y=1，可得

n

=（2，1，-

2

k

），
設(shè)二面角E-BD-C的大小為θ，
則cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|═

2 k

4+1+ 4 k2

＜

3

2

化簡得k²＞

4

15

，所以k＞

2 15

15

．

點評：本題給出二面角的平面角的范圍，求實數(shù)k的范圍．著重考查了空間向量的夾角公式和利用空間直角坐標(biāo)系研究平面與平面所成角等知識，屬于中檔題．