Question

某品牌專(zhuān)賣(mài)店準(zhǔn)備在國(guó)慶期間舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，該店決定從2種不同型號(hào)的洗衣機(jī)，2種不同型號(hào)的電視機(jī)和3種不同型號(hào)的空調(diào)中（不同種商品的型號(hào)不同），選出4種不同型號(hào)的商品進(jìn)行促銷(xiāo)，該店對(duì)選出的商品采用的促銷(xiāo)方案是有獎(jiǎng)銷(xiāo)售，即在該商品現(xiàn)價(jià)的基礎(chǔ)上將價(jià)格提高150元，同時(shí)，若顧客購(gòu)買(mǎi)任何一種型號(hào)的商品，則允許有3次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，若中獎(jiǎng)，則每次中獎(jiǎng)都獲得m（m＞0）元獎(jiǎng)金．假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)時(shí)獲獎(jiǎng)與否的概率都是

1

2

，
（Ⅰ）求選出的4種不同型號(hào)商品中，洗衣機(jī)、電視機(jī)、空調(diào)都至少有一種型號(hào)的概率；
（Ⅱ）（文科）若顧客購(gòu)買(mǎi)兩種不同型號(hào)的商品，求中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金至少2m元的概率；
     （理科）設(shè)顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額（單位：元）為隨機(jī)變量X．請(qǐng)寫(xiě)出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）（理科）在（Ⅱ）的條件下，問(wèn)該店若想采用此促銷(xiāo)方案獲利，則每次中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金要低于多少元？

Answer 1

分析：（Ⅰ）求選出的4種不同型號(hào)商品中，洗衣機(jī)、電視機(jī)、空調(diào)都至少有一種型號(hào)包括洗衣機(jī)、電視機(jī)各一種型號(hào)，空調(diào)兩種型號(hào)；洗衣機(jī)兩種型號(hào)，電視機(jī)、空調(diào)各一種型號(hào)；電視機(jī)兩種型號(hào)，洗衣機(jī)、空調(diào)各一種型號(hào)，從而可求概率；
（Ⅱ）（Ⅱ）（文科）設(shè)事件B“若顧客購(gòu)買(mǎi)兩種不同型號(hào)的商品，中獎(jiǎng)至少2m元”，利用間接法能求出若顧客購(gòu)買(mǎi)兩種不同型號(hào)的商品，中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金至少2m元的概率．
（理科）X的所有可能的取值為0，m，2m，3m，分別求出相應(yīng)的概率，即可寫(xiě)出X的分布列，利用期望公式可求X的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）要使促銷(xiāo)方案對(duì)商場(chǎng)有利，應(yīng)使顧客獲獎(jiǎng)獎(jiǎng)金總額的數(shù)學(xué)期望低于商場(chǎng)的提價(jià)數(shù)額，故可建立不等式，由此可求每次中獎(jiǎng)最低獎(jiǎng)金．

解答：解：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）設(shè)選出的4種不同型號(hào)商品中，洗衣機(jī)、電視機(jī)、空調(diào)都至少有一種型號(hào)為事件A，
則P（A）=

2C 1 2 C 1 3 + C 1 2 C 1 2 C 2 3

C 4 7

=

24

35

．
（Ⅱ）（文科）設(shè)事件B“若顧客購(gòu)買(mǎi)兩種不同型號(hào)的商品，中獎(jiǎng)至少2m元”，
則P（B）=1-P（

.

B

）=1-

C

0 6

(

1

2

)6-

C

1 6

(

1

2

)6=

57

64

，
故若顧客購(gòu)買(mǎi)兩種不同型號(hào)的商品，中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金至少2m元的概率為

57

64

．
（理科）X的所有可能取值為0，m，2m，3m，
P（X=0）=

C

0 3

(

1

2

)0•(

1

2

)3=

1

8

，
P（X=m）=

C

1 3

(

1

2

)•(

1

2

)2=

3

8

，
P（X=2m）=

C

2 3

(

1

2

)2•(

1

2

)=

3

8

，
P（X=3m）=

C

3 3

(

1

2

)3•(

1

2

)0=

1

8

，
∴寫(xiě)出X的分布列為

X	0	m	2m	3m
P	1 8	3 8	3 8	1 8

X的數(shù)學(xué)期望EX=0×

1

8

+m×

3

8

+2m×

3

8

+3m×

1

8

=1.5m．
（Ⅲ）（理科）要使促銷(xiāo)方案對(duì)商場(chǎng)有利，
應(yīng)使顧客獲獎(jiǎng)獎(jiǎng)金總額的數(shù)學(xué)期望低于商場(chǎng)的提價(jià)數(shù)額，
因此應(yīng)有1.5m＜150，所以m＜100．
故每次中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金要低于100元，才能使促銷(xiāo)方案對(duì)商場(chǎng)有利．

點(diǎn)評(píng)：本題考查計(jì)算原理、求古典概型的概率、二項(xiàng)分布、數(shù)學(xué)期望以及組合數(shù)的計(jì)算，考查分析解決問(wèn)題的能力．