Question

數列{a_n}滿足a₁=2，a₂=5，a_n+2=3a_n+1-2a_n，
（Ⅰ）求證：數列{a_n+1-a_n}是等比數列；　
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式a_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+2=3a_n+1-2a_n得a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），得出a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n）所以數列{a_n+1-a_n}是等比數列；　
（Ⅱ）利用累加法求通項．

解答：解：（Ⅰ）由a_n+2=3a_n+1-2a_n得a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n）…4分
∴數列{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁為首項2為公比的等比數列…6分
（II）由（Ⅰ）a₂-a₁=3，所以數列{a_n+1-a_n}的通項公式為
a_n+1-a_n=3•2^n-1 …9分，
當n≥2時，
a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂ ）+（a₂-a₁）+a₁
=3•2^n-2+3•2^n-3+3•2^n-4+…+3•2¹+3•2^0₊2
=3•2^n-1-1   
又n=1也符合上式，所以a_n=3•2^n-1-1 
…13分

點評：本題考查數列遞推公式與通項公式求解，考查轉化構造、推理論證能力．