Question

2．已知在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓錐曲線C的極坐標方程為ρ²=$\frac{12}{3+si{n}^{2}θ}$，F(xiàn)₁是圓錐曲線C的左焦點．直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）求圓錐曲線C的直角坐標方程和直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）若直線l與圓錐曲線C交于M，N兩點，求|F₁M|+|F₁N|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)極坐標和直角坐標以及參數(shù)方程的定義即可求出；
（Ⅱ）先化為參數(shù)方程，再根據(jù)韋達定理即可求出|F₁M|+|F₁N|．

解答 解：（Ⅰ）∵ρsinθ=y，ρ²=$\frac{12}{3+si{n}^{2}θ}$，
∴ρ²sin²θ+3ρ²=12，
∴y²+3x²+3y²=12，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
∴圓錐曲線c的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
由直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消t得$\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}=0$，
所以直線l的直角坐標方程$\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}=0$，
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}m}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}m}\end{array}\right.$（m為參數(shù)），代入橢圓方程得：5m²-4m-12=0，
所以，m₁+m₂=$\frac{4}{5}$，m₁•m₂=-$\frac{12}{5}$，
所以，|F₁M|+|F₁N|=|m₁|+|m₂|=|m₁-m₂|=$\sqrt{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}-4{m}_{1}{m}_{2}}$=$\frac{16}{5}$．

點評 本題考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．