Question

20．已知平面向量$\overrightarrow{a}$=（x，2），$\overrightarrow$=（-x，x+4）．
（1）求|$\overrightarrow$|的最小值；
（2）若$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow$（λ為實(shí)數(shù)），求$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的模和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值；
（2）根據(jù)$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow$（λ為實(shí)數(shù)）得到關(guān)于x，λ的方程組，解得x的值，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出答案．

解答 解：（1））∵$\overrightarrow$=（-x，x+4），
∴|$\overrightarrow$|=$\sqrt{{x}^{2}+（x+4）^{2}}$=$\sqrt{2{x}^{2}+8x+16}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{x}^{2}+4x+8}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（x+2）^{2}+4}$≥2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時(shí)取等號(hào)，
（2）∵$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow$（λ為實(shí)數(shù)）
∴（x，2）=λ（-x，x+4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-λx}\\{2=λ（x+4）}\end{array}\right.$，
解的$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{λ=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{λ=-1}\end{array}\right.$，
當(dāng)x=0時(shí)，$\overrightarrow{a}$=（0，2），$\overrightarrow$=（0，4），則$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（0，-2），
當(dāng)x=-6時(shí)，$\overrightarrow{a}$=（6，2），$\overrightarrow$=（-6，-2），則$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（12，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的模，向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的共線，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．