Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+bx（a，b∈R），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x-2y-2=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x＞1時，f（x）+

k

x

＜0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)n是正整數(shù)，用n!表示前n個正整數(shù)的積，即n!=1•2•3…n．求證：n!＜e 

n(n+1)

4

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率建立等量關(guān)系，以及切點在曲線上建立等式關(guān)系，解之即可．
（2）由題意可得k＜

x2

2

-xlnx．令g（x）=

x2

2

-xlnx，則利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)g（x）的最小值即可；
（3）由（2）知，當(dāng)x＞1時，f（x）＜0（k=0），又 x=1時f（x）＜0也成立，所以當(dāng)x≥1時，lnx＜

x

2

，于是ln1＜

1

2

，ln2＜

2

2

，ln3＜

3

2

，…，lnn＜

n

2

，
上述各式相加即可得出結(jié)論．

解答： （1）解：∵f（x）=alnx+bx，∴f′（x）=

a

x

+b．
∵直線x-2y-2=0的斜率為

1

2

，且曲線y=f（x）過點（1，-

1

2

），
∴

f(1)=- 1 2 f′(1)= 1 2

，即

b=- 1 2 a+b= 1 2

，解得a=1，b=-

1

2

．
所以 f（x）=lnx-

x

2

．
（2）解：由（1）得當(dāng)x＞1時，f（x）+

k

x

＜0恒成立即 lnx-

x

2

+

k

x

＜0，
等價于k＜

x2

2

-xlnx．
令g（x）=

x2

2

-xlnx，則g′（x）=x-（lnx+1）=x-1-lnx．
令h（x）=x-1-lnx，則h′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

．
當(dāng)x＞1時，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故h（x）＞h（1）=0．
從而，當(dāng)x＞1時，g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
故g（x）＞g（1）=

1

2

．
因此，當(dāng)x＞1時，k＜

x2

2

-xlnx．恒成立，則k≤

1

2

．
∴k的取值范圍是（-∞，

1

2

]．
（3）證明：由（2）知，當(dāng)x＞1時，f（x）＜0（k=0），
又 x=1時f（x）＜0也成立，
所以當(dāng)x≥1時，lnx＜

x

2

，于是
ln1＜

1

2

，ln2＜

2

2

，ln3＜

3

2

，…，lnn＜

n

2

，
上述各式相加得，ln（1×2×3×…×n）＜

1+2+3+…+n

2

，
即lnn!＜

n(n+1)

4

，∴n!＜e

n(n+1)

4

．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等知識，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力及運算求解能力，屬于難題．