Question

（本題小滿分12分）已知函數(shù)，．

（1）求證：函數(shù)必有零點(diǎn)；

（2）設(shè)函數(shù)，若在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）或．

【解析】

試題分析：（1）由條件，從而問(wèn)題等價(jià)于證明一元二次方程必有實(shí)數(shù)根，通過(guò)計(jì)算易證其是正確的；（2）由題意得：，，從而需對(duì)的取值進(jìn)行分類討論，得到的大致草圖，再由條件在上是減函數(shù)從而進(jìn)一步得到關(guān)于的不等式，即可得到或．

試題解析：（1），則

，知函數(shù)必有零點(diǎn)；

（2），

，

① 當(dāng)，即時(shí)，，

若在上是減函數(shù)，則，即，∴時(shí)，符合條件，

② 當(dāng)，即或時(shí)，

若，則，要使在上是減函數(shù)，則，∴，

若，則，顯然在上是減函數(shù)，∴，綜上，或．

考點(diǎn)：1．二次函數(shù)與一元二次方程；2．二次函數(shù)的單調(diào)性．