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12.在△ABC中,AP=12AB+AC),若(sinC)•AC+(sinA)•PA+(sinB)•PB=0,則△ABC的形狀為(  )
A.等邊三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

分析ABAC表示出PA,PB,代入條件式整理,根據(jù)平面向量的基本定理可得ABAC的系數(shù)均為0,得出sinA,sinB,sinC的關(guān)系.

解答 解:∵AP=12AB+AC),∴PA=-12AB-12AC,PB=PA+AB=12AB12AC,
(sinC)•AC+(sinA)•PA+(sinB)•PB=0,
∴(sinC)•AC+(sinA)•(-12AB-12AC)+(sinB)•(12AB12AC)=0,
AC(sinC-12sinA-12sinB)+AB12sinB-12sinA)=0
ABAC不共線,
{sinC12sinA12sinB=012sinB12sinA=0,∴sinA=sinB=sinC,
即A=B=C.
∴三角形ABC是等邊三角形.
故選:A.

點評 本題考查了平面向量的基本定理,屬于中檔題.

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