Question

12．在△ABC中，$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），若（sinC）•$\overrightarrow{AC}$+（sinA）•$\overrightarrow{PA}$+（sinB）•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{0}$，則△ABC的形狀為（　　）

• A． 等邊三角形
• B． 鈍角三角形
• C． 直角三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{PB}$，代入條件式整理，根據(jù)平面向量的基本定理可得$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$的系數(shù)均為0，得出sinA，sinB，sinC的關(guān)系．

解答 解：∵$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），∴$\overrightarrow{PA}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}-$$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，
（sinC）•$\overrightarrow{AC}$+（sinA）•$\overrightarrow{PA}$+（sinB）•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{0}$，
∴（sinC）•$\overrightarrow{AC}$+（sinA）•（-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$）+（sinB）•（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}-$$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$）=$\overrightarrow{0}$，
即$\overrightarrow{AC}$（sinC-$\frac{1}{2}$sinA-$\frac{1}{2}$sinB）+$\overrightarrow{AB}$（$\frac{1}{2}$sinB-$\frac{1}{2}$sinA）=$\overrightarrow{0}$．
∵$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$不共線，
∴$\left\{\begin{array}{l}{sinC-\frac{1}{2}sinA-\frac{1}{2}sinB=0}\\{\frac{1}{2}sinB-\frac{1}{2}sinA=0}\end{array}\right.$，∴sinA=sinB=sinC，
即A=B=C．
∴三角形ABC是等邊三角形．
故選：A．

點評 本題考查了平面向量的基本定理，屬于中檔題．