已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=19，Sn=nan+n（n-1），其中n=2，3，4，…
（1）求數(shù)列{an}的通項公式及S的最大值；
（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=ancos（nπ）+2n （n∈N+），求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．
解：（1）由題意，∵S
n=na
n+n（n-1），
∴n≥3時，S
n-1=（n-1）a
n-1+（n-1）（n-2），
兩式相減可得a
n=[na
n+n（n-1）]-[（n-1）a
n-1+（n-1）（n-2）]，
整理可得a
n-a
n-1=-2（n≥3）
當(dāng)n=2時，S
2=2a
1+2，∵a
1=19，∴a
2=17，
∴數(shù)列{a
n}是以19為首項，-2為公差的等差數(shù)列
∴a
n=19+（n-1）×（-2）=21-2n
令a
n≥0，可得n≤10.5，∴n=10時，S
n取得最大值，最大值為100；
（2）b
n=a
ncos（nπ）+2
n=（-1）
na
n+2
n當(dāng)n為偶數(shù)時，T
n=b
1+b
2+…+b
n=（-a
1+2）+（a
2+2
2）+（-a
3+2
3）+…+（a
n+2
n）
=（-2）×
+
=2
n+1-n-2
當(dāng)n為奇數(shù)時，T
n=b
1+b
2+…+b
n=（-a
1+2）+（a
2+2
2）+（-a
3+2
3）+…+（-a
n+2
n）
=-a
1+（a
2-a
3）+…+（a
n-1-a
n）+
=-19+2×
+2
n+1-2=2
n+1+n-22
∴T
n=
分析：（1）再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列{a
n}是以19為首項，-2為公差的等差數(shù)列，從而可數(shù)列{a
n}的通項公式及S
n的最大值；
（2）首先利用誘導(dǎo)公式以及（1）求出數(shù)列{b
n}的通項公式，然后分類討論，即可求數(shù)列{b
n}的前n項和T
n．
點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
