Question

7．已知tanα、cotα是關(guān)于x的方程2x²-2kx=3-k²的兩個方程根，π＜α＜$\frac{5}{4}$π，求cosα-sinα．

Answer 1

分析 根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系求出k的值，結(jié)合同角的三角函數(shù)的關(guān)系式進行化簡求解即可．

解答 解：方程2x²-2kx=3-k²等價為方程2x²-2kx+k²-3=0，
若tanα、cotα是關(guān)于x的方程2x²-2kx=3-k²的兩個方程根，
則tanαcotα=$\frac{{k}^{2}-3}{2}$=1，則k²=5，
tanα+cotα=k，
∵π＜α＜$\frac{5}{4}$π，
∴tanα＞0，則k＞0，則由k²=5得k=$\sqrt{5}$，
由tanα+cotα=k=$\sqrt{5}$得$\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{sinα}$=$\frac{1}{sinαcosα}$=$\sqrt{5}$，
則sinαcosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵π＜α＜$\frac{5}{4}$π，
∴sinα＞cosα，
則cosα-sinα＜0，
即（cosα-sinα）²=1-2sinαcosα=1-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴cosα-sinα=-$\sqrt{1-\frac{2\sqrt{5}}{5}}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的化簡和求解，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出參數(shù)k的值是解決本題的關(guān)鍵．