在長方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別在B B1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D．

（1）求證：A1C⊥平面AEF；

（2）若規(guī)定兩個(gè)平面所成的角是這兩個(gè)平面所成的二面角中的銳角（或直角），則在空間中有定理：若兩條直線分別垂直于兩個(gè)平面，則這兩條直線所成的角與這兩個(gè)平面所成的角相等．

試根據(jù)上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5時(shí)，求平面AEF與平面D1B1BD所成角的大�。ㄓ梅慈呛瘮�(shù)值表示）

 

答案：
解析：

證明：

（1）因?yàn)?img align="absmiddle" width=95 height=23 src="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60RD/0026/0030/da32399dd70a5fe8885198e4951827a2/C/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">，所以在平面上的射影為．

由，，得．

同理可證．

因?yàn)?img align="absmiddle" width=31 height=23 src="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60RD/0026/0030/da32399dd70a5fe8885198e4951827a2/C/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1055">，，

所以．

[解]（2）過作的垂線交．因?yàn)?img align="absmiddle" width=75 height=23 src="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60RD/0026/0030/da32399dd70a5fe8885198e4951827a2/C/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1064">，所以．

設(shè)所成的角為，則即為平面與平面所成的角．

由已知，計(jì)算得．

如圖建立直角坐標(biāo)系，則得點(diǎn)

．

因?yàn)?img align="absmiddle" width=28 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60RD/0026/0030/da32399dd70a5fe8885198e4951827a2/C/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1075">與所成的角為，所以，

．

由定理知，平面與平面所成角的大小為．

 


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9、如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，EF∥B1C1，用    平面BCFE把這個(gè)長方體分成了（1）、（2）兩部分后，這兩部分幾何體的形狀是（　�。�

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（Ⅱ）求證：DF∥平面ACE．

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1
2
倍，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線類型是（　�。�

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（2013•上海） 如圖，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1．證明直線BC′平行于平面D′AC，并求直線BC′到平面D′AC的距離．

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