(本題滿分12分) 

已知a∈R,函數(shù)f(x)=4x3-2ax+a.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)證明:當(dāng)0≤x≤1時,f(x)+|2-a|>0.

 

【答案】

(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,

單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)見解析。

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系來判定求解其單調(diào)區(qū)間。

(2)要證明不等式恒成立問題,那么要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來處理即可或者構(gòu)造函數(shù)求解函數(shù)的 最小值大于零得到。

解:

 (1)由題意得f′(x)=12x2-2a.

當(dāng)a≤0時,f′(x)≥0恒成立,此時f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞).

當(dāng)a>0 時,f′(x)=12,此時

函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,

單調(diào)遞減區(qū)間為.

(2)由于0≤x≤1,故

當(dāng)a≤2時,f(x)+|a-2|=4x3-2ax+2≥4x3-4x+2.

當(dāng)a>2時,f(x)+|a-2|=4x3+2a(1-x)-2≥4x3+4(1-x)-2=4x3-4x+2.

設(shè)g(x)=2x3-2x+1,0≤x≤1,則g′(x)=6x2-2=6,于是

 

x

 

0

 

 

 

-

0

+

 

1

減函數(shù)

極小值

增函數(shù)

1

所以g(x)min=g=1->0.

所以當(dāng)0≤x≤1時,2x3-2x+1>0.

故f(x)+|a-2|≥4x3-4x+2>0.

考點:本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問題中的運用。

點評:對于含有參數(shù)的二次不等式問題的求解是解決導(dǎo)數(shù)中常見的非常重要的,注意對于開口和判別式的情況進行分類討論得到結(jié)論。

 

練習(xí)冊系列答案
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π2
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(Ⅱ)求二面角的大。

(Ⅲ)求點到平面的距離.

 

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