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已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為．
(Ⅰ）求橢圓的方程；
(Ⅱ）已知動直線與橢圓相交于、兩點． ①若線段中點的橫坐標為，求斜率的值；②若點，求證：為定值．

(Ⅰ)；(Ⅱ)①；②.

解析試題分析：(Ⅰ)根據已知條件可設橢圓方程為：，則有，，，求解即可得到和的值，將對應的解代入橢圓方程即可；(Ⅱ)①將直線方程代入橢圓方程求得，，求得、兩點的橫坐標之和為，由已知條件“中點的橫坐標為”，得到，從而解得的值；
②根據①的、兩點的坐標求得③，結合、兩點坐標滿足直線方程，將③式化簡整理得，再由①中的根與系數的關系：，，代入化簡即可.
試題解析：(Ⅰ)因為滿足，，，
解得，，
則橢圓方程為：.                3分
(Ⅱ)①將代入中得，，
，
設，，則，
因為中點的橫坐標為，所以，
解得.            6分
②由①知，，，
所以




.                  12分
考點：1.橢圓的標準方程；2.橢圓的性質；3.方程的根與系數的關系；4.中點坐標公式；5.平面向量的數量積

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓的方程為，雙曲線的兩條漸近線為、.過橢圓的右焦點作直線，使，又與交于點，設與橢圓的兩個交點由上至下依次為、.

（1）若與的夾角為，且雙曲線的焦距為，求橢圓的方程；
（2）求的最大值.

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在直角坐標系中，已知中心在原點，離心率為的橢圓E的一個焦點為圓的圓心.
⑴求橢圓E的方程；
⑵設P是橢圓E上一點，過P作兩條斜率之積為的直線，當直線都與圓相切時，求P點坐標.

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已知曲線，求曲線過點的切線方程。

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已知中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為的橢圓過點
（1）求橢圓的方程；
（2）設不過原點O的直線與該橢圓交于P，Q兩點，滿足直線的斜率依次成等比數列，
求面積的取值范圍.

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已知動圓經過點，且和直線相切，
（1）求動圓圓心的軌跡C的方程；
（2）已知曲線C上一點M，且5，求M點的坐標．

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已知拋物線：．過點的直線交于兩點．拋物線在點處的切線與在點處的切線交于點．

(Ⅰ)若直線的斜率為1，求；
(Ⅱ)求面積的最小值．

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已知中心在原點的雙曲線的一個焦點是，一條漸近線的方程是。
（1）求雙曲線的方程；
（2）若以為斜率的直線與雙曲線相交于兩個不同的點，且線段的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設拋物線的焦點為，其準線與軸的交點為，過點的直線交拋物線于兩點．
（1）若直線的斜率為，求證：；
（2）設直線的斜率分別為，求的值．

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