Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠B=30°，c=6，記b=f（a），若函數(shù)g（a）=f（a）-k（k是常數(shù)）只有一個零點，則實數(shù)k的取值范圍是（　　）

A．{k|0＜k≤3或k=6}

B．{k|3≤k≤6}

C．{k|k≥6}

D．{k|k≥6或k=3}

Answer 1

分析：由余弦定理可得 b=f（a）的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得f（a）的最小值為3，f（a）的增區(qū)間為[3

3

，+∞），
減區(qū)間為（0，3

3

），且f（0）趨于6，由此可得實數(shù)k的取值范圍．

解答：解：在△ABC中，∠B=30°，c=6，記b=f（a），
而由余弦定理可得 b=

a2+c2-2ac•cosB

=

a2+36-12a• 3 2

 
=

(a-3 3 )2+9

≥3，即f（a）的最小值為3．
由于函數(shù)g（a）=f（a）-k（k是常數(shù)）只有一個零點，故方函數(shù)y=f（a）與直線y=k有唯一交點，
由于函數(shù)f（a）的增區(qū)間為[3

3

，+∞），減區(qū)間為（0，3

3

），且f（0）趨于6，
結(jié)合函數(shù)b=f（a）的圖象可得 k≥6，或k=3，
故選D．

點評：本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．