Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

2

=1（a＞0）的左右焦點分別為F₁、F₂，A是橢圓C上的一點，

AF2

•

F1F2

=0，坐標原點O到直線AF₁的距離為

1

3

|OF₁|．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設Q是橢圓C上的一點，N（-1，0），連接QN的直線交y軸于點M，若|

MQ

|=2|

QN

|，求直線l的斜率．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題設知F₁（-

a2-2

，0），F(xiàn)₂（

a2-2

，0），其中a＞

2

，由

AF2

•

F1F2

=0，得點A（

a2-2

，±

2

a

），由此利用直線方程、點到直線距離公式結合已知條件能求出橢圓的方程．
（2）設直線斜率為k，直線l的方程為y=k（x+1），設Q（x₁，y₁），根據(jù)題意得（x1，

y

1

-k）=±2（x₁+1，y₁），由此能求出直線l的斜率．

解答： 解：（1）由題設知F₁（-

a2-2

，0），F(xiàn)₂（

a2-2

，0），其中a＞

2

，
由于

AF2

•

F1F2

=0，則有

AF2

⊥

F1F2

，…（1分）
所以點A的坐標為（

a2-2

，±

2

a

），…（2分）
故AF₁所在直線方程為y=±(

x

a a2-2

+

1

a

)．…（3分）
所以坐標原點O到直線AF₁的距離為

a2-2

a2-1

，…（4分）
又|OF₁|=

a2-2

，所以

a2-2

a2-1

=

1

3

a2-2

，解得：a=2．…（5分）
所求橢圓的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．…（6分）
（2）由題意可知直線l的斜率存在，
設直線斜率為k，直線l的方程為y=k（x+1），
則有M（0，k），設Q（x₁，y₁），由于Q、N、M三點共線，且|

MQ

|=2|

QN

|…（8分）
根據(jù)題意得（x1，

y

1

-k）=±2（x₁+1，y₁），…（9分）
解得

x1=-2 y1=-k

，或

x1=- 2 3 y1= k 3

，…（11分）
又Q在橢圓C上，故

4

4

+

(-k)2

2

=1或

4 9

4

+

( k 3 )2

2

=1，…（12分）
解得k=0或k=±4．
綜上，直線l的斜率為0或±4．…（13分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．