Question

已知函數(shù)f（x）=2（sin⁴x+cos⁴x）+m（sinx+cosx）⁴在x∈[0，

π

2

）上的最大值為5，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：分類討論,三角函數(shù)的求值

分析：設(shè)a=sinx，b=cosx，x∈[0，

π

2

），用ab表示f（x），討論m的值，求f（x）取到最大值時，求出符合條件的m的值．

解答： 解：設(shè)a=sinx，b=cosx，且x∈[0，

π

2

），
則a²+b²=1，ab=

1

2

sin2x，
∴0≤ab≤

1

2

；
∴f（x）=2（a⁴+b⁴）+m（a+b）⁴
=2[（a²+b²）²-2a²b²]+m（a²+b²+2ab）²
=2-4（ab）²+m（1+2ab）²
=2-4（ab）²+m[1+4ab+4（ab）²]
=4（m-1）（ab）²+4mab+2+m，
當(dāng)m=1時，f（x）=4ab+3=2sin2x+3，在x=

π

4

時取到最大值5，符合題意；
當(dāng)m≠1時，f（x）=4（m-1）[ab+

m

2(m-1)

]2+1-

1

m-1

，
由拋物線性質(zhì)，知：
當(dāng)m＞1時，f（x）_max=f（

1

2

）=4（m-1）×

1

4

+4m×

1

2

+2+m=4m+1=5，
解得m=1，不符條件，舍去；
當(dāng)m＜1時，若0≤

m

2(1-m)

≤

1

2

，則0≤m≤

1

2

，
f（x）_max=f[

m

2(1-m)

]=1-

1

m-1

=5，解得 m=

3

4

，不符條件，舍去；
若

1

2

＜m＜1，則f（x）_max=f（

1

2

）=4m+1=5，解得m=1，不符條件，舍去；
若m＜0，則f（x）_max=f（0）=2+m=5，解得m=3，不符條件，舍去；
綜上，只有一個解m=1；
即f（x）在x∈[0，

π

2

）上的最大值為5時，m=1．

點(diǎn)評：本題考查了分類討論的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的求值問題，解題時應(yīng)對三角函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈冃危�是難題目．