Question

已知點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足條件

x≤1 y≤2 2x+y-2≥0

，那么（x+1）²+y²的取值范圍為（　�。�

• A．[2，8]
• B．（2，8]
• C．[

  16

  5

  ，8]
• D．（

  16

  5

  ，8]

Answer 1

分析：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，設(shè)P（x，y）、Q（-1，0），可得（x+1）²+y²=|QP|²表示Q、P兩點(diǎn)距離的平方，因此運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P并加以觀察得到|QP|的最大、最小值，即可得到（x+1）²+y²的取值范圍．

解答：解：作出不等式組

x≤1 y≤2 2x+y-2≥0

表示的平面區(qū)域，
得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，
其中A（1，0），B（0，2），C（1，2）
設(shè)P（x，y）為區(qū)域內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)Q（-1，0）
則|PQ|=

(x+1) 2+y 2

，
因此（x+1）²+y²=|QP|²表示Q、P兩點(diǎn)距離的平方之值
∵當(dāng)P與C重合時(shí)|QP|=

(-1-1)2+(0-2)2

=2

2

達(dá)到最大值，
當(dāng)P與Q在AB上的射影D重合量，|QP|=

|-2+0-2|

5

=

4 5

5

達(dá)到最小值
∴|QP|²的最小值為

16

5

，最大值為8，即（x+1）²+y²的取值范圍是[

16

5

，8]
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出二元一次不等式組，求（x+1）²+y²的取值范圍，著重考查了兩點(diǎn)的距離公式、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于中檔題．