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8.已知F1,F(xiàn)2分別為橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),Q為橢圓C上的一點(diǎn),且△QF1O(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為正三角形,若射線QF1與橢圓交于點(diǎn)P,則△QF1F2與△PF1F2的面積的比值是3+233

分析 作圖,結(jié)合圖象可得c+3c=2a,從而可得橢圓C的方程為x22+32c2+y232c2=1,再直線方程聯(lián)立消元可得6+433y2-2cy-32c2=0,從而可得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為32c,點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-33c6+43,從而解得.

解答 解:由題意作圖如右圖,
∵△QF1O(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為正三角形,
∴△QF1F2是直角三角形,
∴c+3c=2a,
∴a=3+12c,b2=a2-c2=32c2,
∴橢圓C的方程為x22+32c2+y232c2=1,
設(shè)直線PQ的方程為y=3(x+c),
故x=33y-c,
代入消x化簡可得,
6+433y2-2cy-32c2=0,
即(y-32c)(6+433y+3c)=0,
故點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為32c,點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-33c6+43,
故△QF1F2與△PF1F2的面積的比值為32c33c6+43=3+233
故答案為:3+233

點(diǎn)評 本題考查了圓錐曲線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用,屬于中檔題.

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(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)P是y軸上一點(diǎn),以PA、PB為鄰邊作平行四邊形PAQB,若P點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-2),12|F2A||F2B|≤1,求平行四邊形PAQB對角PQ的長度取值范圍.

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20.如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形,AB=22,BC=2,點(diǎn)P在底面上的射影在AC上,E,F(xiàn)分別是AB,BC的中點(diǎn).
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17.給出下列命題:
①在區(qū)間(0,+∞)上,函數(shù)y=x-1,y=x12,y=(x-1)2,y=x3中有三個(gè)是增函數(shù);
②若logm3<logn3<0,則0<n<m<1;
③若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),則f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱;
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