Question

（本小題滿分12分）

直三棱柱ABO-A₁B₁O₁中，∠AOB=90°，D為AB的中點(diǎn)，AO=BO=BB₁=2.

①求證：BO₁⊥AB₁；

②求證：BO₁∥平面OA₁D；

③求三棱錐B—A₁OD的體積。

                            

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

①略

②略

③V=

【解析】證法1：①連結(jié)OB，    ∵OO⊥平面AOB,∴OO⊥AO

即AO⊥OO，又AO⊥OB 

∴AO⊥平面OOBB

∴O B為A B在平面OOBB內(nèi)的射影

又OB=B B  ∴四邊形OOBB為正方形

∴B O⊥OB

∴B O⊥A B（三垂線定理）分

②連結(jié)A O交OA于E，再連結(jié)DE.

∵四邊形AAOO為矩形 ,∴E為A O的中點(diǎn).

又D為AB的中點(diǎn)，∴BO∥D……………6分

又DE平面OAD，BO平面OAD

∴BO∥平面OAD

③∵V= V，

又∵AA₁⊥平面ABO，∴V=·S·AA。

又S=·S=1，A₁A=2，

∴V=。

證法2：以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則:

O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),A(2,0,2),

B(0,2,2), O(0,0,2), D(1,1,2).

①∵=(-2,2,-2),=(0,-2,-2)

∴·=(-2) ·0+2·(-2)+(-2) ·(-2)=0

∴⊥    ∴B O⊥A B

②取OA的中點(diǎn)為E，則E點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,0,1)，∴=(0,-1,-1),        又=(0,-2,-2)

∴=2   又BO、DE不共線，    ∴BO∥DE

又DE平面OAD，BO平面OAD    ∴BO∥平面OAD③與證法1相同