Question

4．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，且SD=2，SC=DC=AS=AD=$\sqrt{2}$．平面ASD⊥平面SDC．
（1）求證：SD⊥AC；
（2）求二面角S-AB-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取SD的中點O，連接OA，OC，證明SD⊥平面OAC，即可證明SD⊥AC；
（2）求出S_△ASB=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1，S_△ABD=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求二面角S-AB-D的余弦值

解答 （1）證明：取SD的中點O，連接OA，OC，則
∵SC=DC=AS=AD=$\sqrt{2}$，
∴AO⊥SD，CO⊥SD，
∵AO∩CO=O，
∴SD⊥平面OAC，
∵AC?平面OAC，
∴SD⊥AC；
（2）解：連接BD，與AC交于E，連接SE，則
∵SD=2，SC=DC=AS=AD=$\sqrt{2}$，
∴AO=OC=1，
∵AO⊥SD，平面ASD⊥平面SDC，平面ASD∩平面SDC=SD，
∴AO⊥面SDC，
∵CO?面SDC，
∴AO⊥CO，∴AC=$\sqrt{2}$，
∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
∴cos∠DES=$\frac{\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-2}{2×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴SB=$\sqrt{\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-2×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}×（-\frac{1}{3}）}$=2，
∴SA⊥SB，
∴S_△ASB=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1，
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴二面角S-AB-D的余弦值為$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ASB}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查二面角S-AB-D的余弦值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．