Question

【題目】設(shè)函數(shù)（）.

（1）若函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）求函數(shù)的極值點(diǎn)；

（3）令， ，設(shè)， ， 是曲線上相異三點(diǎn)，其中.求證： .

Answer 1

【答案】（1）實(shí)數(shù)的取值范圍是

（2）時， 有唯一極小值點(diǎn)，

時， 有一個極大值點(diǎn)和一個極小值點(diǎn)；

時， 無極值點(diǎn).

（3）證明見解析

【解析】試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為： 或在上恒成立.再根據(jù)變量分離轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值： 最大值或最小值，即得.（2）實(shí)質(zhì)為討論一元二次方程解的情況：當(dāng)時，方程無解，函數(shù)無極值點(diǎn)； 時，方程有一解,函數(shù)有一個極值點(diǎn)； 時，方程有兩解,函數(shù)有兩個極值點(diǎn)；（3）借助第三量進(jìn)行論證，先證，代入化簡可得，構(gòu)造函數(shù)，其中（），利用導(dǎo)數(shù)易得在上單調(diào)遞增，即，即有，同理可證，

試題解析：解：（1），

函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)， 或在上恒成立.

若恒成立，得.

若恒成立，即恒成立.

在上沒有最小值， 不存在實(shí)數(shù)使恒成立.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（2）由（1）知當(dāng)時，函數(shù)無極值點(diǎn).

當(dāng)時， 有兩個不同解， ， ，

時， ， ，即， ，

時， 在上遞減，在上遞增， 有唯一極小值點(diǎn)；

當(dāng)時， .

， ， 在上遞增，在遞減，在遞增，

有一個極大值點(diǎn)和一個極小值點(diǎn).

綜上所述， 時， 有唯一極小值點(diǎn)，

時， 有一個極大值點(diǎn)和一個極小值點(diǎn)；

時， 無極值點(diǎn).

（3）先證： ，即證，

即證 ，

令（），， ，

所以在上單調(diào)遞增，即，即有，所以獲證.

同理可證： ，

所以.