已知函數(shù) (為實(shí)常數(shù))
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值及相應(yīng)的值;
(2)當(dāng)時(shí),討論方程根的個(gè)數(shù)
(3)若,且對(duì)任意的,都有,求實(shí)數(shù)a的取值范圍
(1)當(dāng)時(shí);(2)當(dāng)時(shí),方程有2個(gè)相異的根;當(dāng) 或時(shí),方程有1個(gè)根;當(dāng)時(shí),方程有0個(gè)根;(3)
解析試題分析:(1) 利用導(dǎo)數(shù)求解極值點(diǎn),然后確定單調(diào)性,分析最值;(2)把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,進(jìn)而求最值,然后分析交點(diǎn)的情形即根的情形;(3)通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的分析,可得導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上大于零恒成立問(wèn)題,然后轉(zhuǎn)化為最值求解
試題解析:(1),
當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),,
又,
故,當(dāng)時(shí),取等號(hào) 4分
(2)易知,故,
方程根的個(gè)數(shù)等價(jià)于時(shí),方程根的個(gè)數(shù)。
設(shè)=,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)遞減,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)遞增。
又,,作出與直線的圖像,由圖像知:
當(dāng)時(shí),即時(shí),方程有2個(gè)相異的根;
當(dāng) 或時(shí),方程有1個(gè)根;
當(dāng)時(shí),方程有0個(gè)根; 10分
(3)當(dāng)時(shí),在時(shí)是增函數(shù),又函數(shù)是減函數(shù),不妨設(shè),則等價(jià)于
即,故原題等價(jià)于函數(shù)在時(shí)是減函數(shù),
恒成立,即在時(shí)恒成立。
在時(shí)是減函數(shù) 16分
(其他解法酌情給分)
考點(diǎn):導(dǎo)數(shù),函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)若函數(shù)為奇函數(shù),求a的值;
(2)若函數(shù)在處取得極大值,求實(shí)數(shù)a的值;
(3)若,求在區(qū)間上的最大值.
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某校內(nèi)有一塊以為圓心,(為常數(shù),單位為米)為半徑的半圓形(如圖)荒地,該?倓(wù)處計(jì)劃對(duì)其開(kāi)發(fā)利用,其中弓形區(qū)域(陰影部分)用于種植學(xué)校觀賞植物,區(qū)域用于種植花卉出售,其余區(qū)域用于種植草皮出售.已知種植學(xué)校觀賞植物的成本是每平方米20元,種植花卉的利潤(rùn)是每平方米80元,種植草皮的利潤(rùn)是每平方米30元.
(1)設(shè)(單位:弧度),用表示弓形的面積;
(2)如果該?倓(wù)處邀請(qǐng)你規(guī)劃這塊土地,如何設(shè)計(jì)的大小才能使總利潤(rùn)最大?并求出該最大值.
(參考公式:扇形面積公式,表示扇形的弧長(zhǎng))
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設(shè)函數(shù)
(1)求的單調(diào)區(qū)間、最大值;
(2)討論關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù).
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已知函數(shù)(是常數(shù))在處的切線方程為,且.
(Ⅰ)求常數(shù)的值;
(Ⅱ)若函數(shù)()在區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)證明:.
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已知函數(shù)
(1)求的值域;
(2)設(shè),函數(shù).若對(duì)任意,總存在,使,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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已知函數(shù).
(1)設(shè),試討論單調(diào)性;
(2)設(shè),當(dāng)時(shí),若,存在,使,求實(shí)數(shù)的
取值范圍.
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設(shè)函數(shù),若在點(diǎn)處的切線斜率為.
(Ⅰ)用表示;
(Ⅱ)設(shè),若對(duì)定義域內(nèi)的恒成立,
(。┣髮(shí)數(shù)的取值范圍;
(ⅱ)對(duì)任意的,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),在上.
(1)求函數(shù)的解析式;并判斷在上的單調(diào)性(不要求證明);
(2)解不等式.
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