【題目】
已知橢圓C: (a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為,直線y=x+b截得橢圓C的弦長為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點(m,0)作圓x2+y2=1的切線,交橢圓C于點A,B,求|AB|的最大值,并求取得最大值時m的值.
【答案】(1) (2) |AB|最大為,m=±1.
【解析】試題分析:(1)利用條件布列關于a,b方程組,即可得到橢圓C的方程;(2)討論直線的斜率,進而聯(lián)立方程,(1+2k2)x2-4k2mx+2k2m2-2=0,表示弦長,進而得到|AB|的最大值.
試題解析:
(Ⅰ)由e==,a2=b2+c2得a2=2c2,b2=c2,
由得
∵=b=,∴b=1,∴a=,
∴橢圓C的方程為+y2=1.
(Ⅱ)當AB與x軸垂直時,+y2=1,|y|=,|AB|=,
當AB與x軸不垂直時,
設AB方程為y=k(x-m),
由得(1+2k2)x2-4k2mx+2k2m2-2=0,
Δ>0時,設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=,x1x2=,
由=1得k2m2=k2+1,
∴|AB|==≤=,
當且僅當|m|=1時取“=”,∴|AB|<,
∴當AB⊥x軸時,|AB|最大為,m=±1.
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【題目】設函數(shù)是定義在上的單調函數(shù),且對于任意正數(shù)有,已知,若一個各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足,其中是數(shù)列的前項和,則數(shù)列中第18項( )
A. B. 9 C. 18 D. 36
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【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),f(x+1)為奇函數(shù),f(0)=0,當x∈(0,1]時,f(x)=log2x,則在區(qū)間(8,9)內滿足方程f(x)+2=的實數(shù)x為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分別為線段AD,PC的中點.
(1)求證:AP∥平面BEF;
(2)求證:BE⊥平面PAC.
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【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)的準線方程為x=-1,過定點M(m,0)(m>0)作斜率為k的直線l交拋物線C于A,B兩點,E是M點關于坐標原點O的對稱點,若直線AE和BE的斜率分別為k1,k2,則k1+k2=________.
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【題目】某P2P平臺需要了解該平臺投資者的大致年齡分布,發(fā)現(xiàn)其投資者年齡大多集中在區(qū)間[20,50]歲之間,對區(qū)間[20,50]歲的人群隨機抽取20人進行了一次理財習慣調查,得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖:
組數(shù) | 分組 | 人數(shù)(單位:人) |
第一組 | [20,25) | 2 |
第二組 | [25,30) | a |
第三組 | [30,35) | 5 |
第四組 | [35,40) | 4 |
第五組 | [40,45) | 3 |
第六組 | [45,50] | 2 |
(Ⅰ)求a的值并畫出頻率分布直方圖;
(Ⅱ)在統(tǒng)計表的第五與第六組的5人中,隨機選取2人,求這2人的年齡都小于45歲的概率.
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【題目】已知向量a=(sin x,mcos x),b=(3,-1).
(1)若a∥b,且m=1,求2sin2x-3cos2x的值;
(2)若函數(shù)f(x)=a·b的圖象關于直線對稱,求函數(shù)f(2x)在上的值域.
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【題目】如圖,在三棱錐中,平面平面, , , , 分別為線段上的點,且, , .
(1)求證: 平面;
(2)若與平面所成的角為,求平面與平面所成的銳二面角.
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【題目】已知函數(shù)
(I)若函數(shù)處取得極值,求實數(shù)的值;并求此時上的最大值;
(Ⅱ)若函數(shù)不存在零點,求實數(shù)a的取值范圍;
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