Question

18．設函數f（x）=x²-mln （2x+1），其中x∈（-$\frac{1}{2}$，1]，且m＞0．
（Ⅰ）若函數f（x）在區(qū)間（-$\frac{1}{2}$，1]上是減函數，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）函數f（x）是否存在最小值，若存在最小值，求出取最小值時的x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）令f′（x）≤0在（-$\frac{1}{2}$，1]上恒成立，分離參數得m≥2x²+x，求出右側函數的最大值即可得出m的范圍；
（II）求出f（x）的極值點，對極值點是否在區(qū)間（-$\frac{1}{2}$，1]上進行討論，得出f（x）的單調性，從而得出f（x）是否存在最小值．

解答 解：（I）f′（x）=2x-$\frac{2m}{2x+1}$=$\frac{2（2{x}^{2}+x-m）}{2x+1}$，
∵函數f（x）在區(qū)間（-$\frac{1}{2}$，1]上是減函數，
∴f′（x）≤0在（-$\frac{1}{2}$，1]上恒成立，即m≥2x²+x在（-$\frac{1}{2}$，1]上恒成立．
設g（x）=2x²+x，則g（x）在（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$]上是減函數，在（-$\frac{1}{4}$，1]上是增函數，
且g（-$\frac{1}{2}$）=0，g（1）=3，∴g_max（x）=g（1）=3，
∴m≥3．
（II）令f′（x）=0得x₁=$\frac{-1-\sqrt{1+8m}}{4}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{1+8m}}{4}$，
∵m＞0，∴x₁$＜-\frac{1}{2}$，x₂＞0．
①若0＜$\frac{-1+\sqrt{1+8m}}{4}$＜1，即0＜m＜3，則當-$\frac{1}{2}$＜x＜x₂時，f′（x）＜0，
當x₂＜x≤1時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-$\frac{1}{2}$，x₂）上單調遞減，在（x₂，1]上低調遞增，
∴當x=$\frac{-1+\sqrt{1+8m}}{4}$時，f（x）取得最小值．
②若$\frac{-1+\sqrt{1+8m}}{4}$≥1，即m≥3，當-$\frac{1}{2}$＜x≤1時，f′（x）≤0，
∴f（x）在區(qū)間（-$\frac{1}{2}$，1]上是減函數，
∴當x=1時，f（x）取得最小值．
綜上，當0＜m＜3時，當x=$\frac{-1+\sqrt{1+8m}}{4}$時，f（x）取得最小值；
當m≥3時，當x=1時，f（x）取得最小值．

點評 本題考查了導數與函數的單調性，函數最值得求解，分類討論思想，屬于中檔題．