Question

2．如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，經(jīng)過右焦點F₂的直線與雙曲線C的右支交于P，Q兩點，且|PF₂|=2|F₂Q|，PQ⊥F₁Q，則雙曲線C的離心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{17}}{3}$

Answer 1

分析 設|F₂Q|=m，根據(jù)雙曲線的定義分別求出|PF₁|=2m+2a，|QF₁|=m+2a，根據(jù)直角三角形的性質建立方程關系求出m=$\frac{2}{3}$a，然后再次利用直角三角形的關系建立a，c的方程關系進行求解即可．

解答 解：∵經(jīng)過右焦點F₂的直線與雙曲線C的右支交于P，Q兩點，且|PF₂|=2|F₂Q|，∴設|F₂Q|=m，則|PF₂|=2|F₂Q|=2m，
|PF₁|=|PF₂|+2a=2m+2a，
|QF₁|=|QF₂|+2a=m+2a，
∵PQ⊥F₁Q，
∴|PF₁|²=|PQ|²+|QF₁|²，
即（2m+2a）²=（3m）²+（m+2a）²，
整理得4m²+8ma+4a²=9m²+m²+8ma+4a²，
即4am=6m²，
則m=$\frac{2}{3}$a，
則|QF₁|=$\frac{2}{3}$a+2a=$\frac{8a}{3}$，|F₂Q|=$\frac{2}{3}$a，
由|F₁F₂|²=|F₁Q|²+|QF₂|²，
即4c²=（$\frac{8a}{3}$）²+（$\frac{2}{3}$a）²=$\frac{68{a}^{2}}{9}$，
即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{17}{9}$，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{17}{9}}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$，
故選：D．

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)直角三角形的定義結合雙曲線的定義建立方程公式是解決本題的關鍵．綜合性較強，考查學生的計算能力．