Question

橢圓上任一點P到兩個焦點的距離的和為6，焦距為，A，B分別是橢圓的左右頂點．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若P與A，B均不重合，設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k₁，k₂，證明：k₁•k₂為定值；
（Ⅲ）設(shè)C（x，y）（0＜x＜a）為橢圓上一動點，D為C關(guān)于y軸的對稱點，四邊形ABCD的面積為S（x），設(shè)，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意得，2a=6，，再據(jù)b²=a²-c²求出b²的值，即可得到橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），利用斜率公式及P在橢圓上求得k₁和k₂ 的解析式，從而計算出 k₁•k₂的值．
（Ⅲ）由題意，四邊形ABCD是梯形，求出S（x），可得函數(shù)f（x）的解析式，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，
從而求出極值．
解答：解：（Ⅰ）由題意得，2a=6，∴a=3．
又，∴，b²=a²-c²=1，故橢圓的方程為．
（Ⅱ）設(shè)P（x，y）（y≠0），A（-3，0），B（3，0），，則，即，則，即 ，∴k₁•k₂為定值 ．
（Ⅲ）由題意，四邊形ABCD是梯形，則 ，且，
于是， （0＜x＜3），
．  令f'（x）=0，解之得x=1或x=-3（舍去），
當(dāng)0＜x＜1，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)1＜x＜3，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
所以f（x）在x=1時取得極大值，也是最大值．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的極值．