Question

10．如圖，某廣場中間有一塊邊長為2百米的菱形狀綠化區(qū)ABCD，其中BMN是半徑為1百米的扇形，∠ABC=$\frac{{2{π}}}{3}$．管理部門欲在該地從M到D修建一條小路：在弧$\widehat{MN}$上選一點P（異于M、N兩點），過點P修建與BC平行的小路PQ．問：點P選擇在何處時，才能使得修建的小路$\widehat{MP}$與PQ及QD的總長最��？并說明理由．

Answer 1

分析 連接BP，過P作PP₁⊥BC垂足為P₁，過Q作QQ₁⊥BC垂足為Q₁，設(shè)∠PBP₁=θ$（{0＜θ＜\frac{{2{π}}}{3}}）$，∠MBP=$\frac{{2{π}}}{3}$-θ，則總路徑長f（θ）=$\frac{{2{π}}}{3}$-θ+4-cosθ-$\sqrt{3}$sinθ，（0＜θ＜$\frac{2π}{3}$），求導(dǎo)，可得函數(shù)的最小值點．

解答 解：連接BP，過P作PP₁⊥BC垂足為P₁，
過Q作QQ₁⊥BC垂足為Q₁，
設(shè)∠PBP₁=θ$（{0＜θ＜\frac{{2{π}}}{3}}）$，∠MBP=$\frac{{2{π}}}{3}$-θ        …（2分）
若$0＜θ＜\frac{π}{2}$，在Rt△PBP₁中，PP₁=sinθ，BP₁=cosθ，
若$θ=\frac{π}{2}$，則PP₁=sinθ，BP₁=cosθ，
若$\frac{π}{2}$＜θ＜$\frac{2π}{3}$，則PP₁=sinθ，BP₁=cos（π-θ）=-cosθ，
∴$PQ=2-cosθ-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinθ$        …（4分）
在Rt△QBQ₁中，QQ₁=PP₁=sinθ，CQ₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinθ，CQ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinθ，$DQ=2-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sinθ$            …（6分）
所以總路徑長f（θ）=$\frac{{2{π}}}{3}$-θ+4-cosθ-$\sqrt{3}$sinθ，（0＜θ＜$\frac{2π}{3}$），…（10分）
${f^'}（θ）=sinθ-\sqrt{3}cosθ-1=2sin（θ-\frac{π}{3}）-1$                …（12分）
令f'（θ）=0，$θ=\frac{π}{2}$當$0＜θ＜\frac{π}{2}$ 時，f'（θ）＜0當$\frac{π}{2}＜θ＜\frac{{2{π}}}{3}$ 時，f'（θ）＞0                 …（14分）
所以當$θ=\frac{π}{2}$時，總路徑最短．
答：當BP⊥BC時，總路徑最短．…（16分）

點評 本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，三角函數(shù)的應(yīng)用，難度中檔．