Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n和通項(xiàng)a_n滿足S_n=（1-a_n）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=na_n，求證：b₁+b₂+…+b_n＜．

Answer 1

（1）解：∵S_n=（1-a_n），∴n≥2時(shí)，S_n-1=（1-a_n-1）．
兩式相減可得a_n=（a_n-1-a_n），∴
∵n=1時(shí)，a₁=S₁=（1-a₁），∴a₁=
∴數(shù)列{a_n}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列
∴a_n==；
（2）證明：b_n=na_n=n•
令T_n=b₁+b₂+…+b_n，即T_n=1•+2•+…+n•
∴T_n=1•+2•+…+（n-1）•+n•
兩式相減可得T_n=1•+1•+1•+…+1•-n•=-n•=-n•
∴T_n=-•，
∴T_n＜．
分析：（1）利用數(shù)列遞推式，再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列{a_n}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的判定，考查數(shù)列的求和，考查不等式的證明，屬于中檔題．