Question

已知關于x的不等式|x+1|+|2x-1|＜|m-1|+|m-2|有解，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：計算題,分類討論,不等式的解法及應用

分析：令f（x）=|x+1|+|2x-1|，分當x≥

1

2

時，當-1＜x＜

1

2

時，當x≤-1時，求得函數(shù)的值域，得到最小值，再對當m≥2時，當1＜m＜2時，當m≤1時，求出m的范圍，最后再求并集即可．

解答： 解：令f（x）=|x+1|+|2x-1|，
當x≥

1

2

時，f（x）=x+1+2x-1=3x，且f（x）≥

3

2

；
當-1＜x＜

1

2

時，f（x）=x+1+1-2x=2-x，且

3

2

＜f（x）＜3；
當x≤-1時，f（x）=-x-1+1-2x=-3x，且f（x）≥3．
則有f（x）的值域為：[

3

2

，+∞）．
由于關于x的不等式|x+1|+|2x-1|＜|m-1|+|m-2|有解，
則|m-1|+|m-2|＞

3

2

，
當m≥2時，m-1+m-2＞

3

2

，解得m＞

9

4

，即有m＞

9

4

；
當1＜m＜2時，m-1+2-m＞

3

2

，則m無解；
當m≤1時，1-m+2-m＞

3

2

，解得m＜

3

4

，即有m＜

3

4

．
綜上可得，m的取值范圍是：（

9

4

，+∞）∪（-∞，

3

4

）．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查含絕對值函數(shù)的最值問題，注意分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．