Question

19．已知拋物線y²=-x與直線y=k（x+1）相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，O為坐標原點．
（1）求y₁y₂的值；
（2）求證：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：將直線方程代入拋物線方程，由韋達定理可知：y₁•y₂=-1；
（2）由（1）可知：${y}_{1}^{2}•{y}_{2}^{2}$=x₁x₂，則k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{{y}_{1}{y}_{2}}$=-1，因此OA⊥OB．

解答 解：（1）由題意可知：將直線y=k（x+1）代入拋物線方程，
$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=-x}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，消去x后整理得ky²+y-k=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達定理，得y₁•y₂=-1，
（2）由（1）可知：A，B在拋物線y²=-x上，
可得$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}^{2}=-{x}_{1}}\\{{y}_{2}^{2}=-{x}_{2}}\end{array}\right.$則${y}_{1}^{2}•{y}_{2}^{2}$=x₁x₂，
∴k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{{y}_{1}{y}_{2}}$=-1，
即有無論k為何值都有，OA⊥OB．

點評 本題考查拋物線的標準方程，直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，直線垂直的重要條件，考查計算能力，屬于中檔題．