Question

19．觀察下列各個(gè)等式：1²=1，1²+2²=5，1²+2²+3²=14，1²+2²+3²+4²=30，…．
（1）你能從中推導(dǎo)出計(jì)算1²+2²+3²+4²+…+n²的公式嗎？請(qǐng)寫出你的推導(dǎo)過程；
（2）請(qǐng)你用（1）中推導(dǎo)出的公式來解決下列問題：
已知：如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x、y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B，將線段OAn等分，分點(diǎn)從左到右依次為A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、…、A_n-1，分別過這n-1個(gè)點(diǎn)作x軸的垂線依次交拋物線于點(diǎn)B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆、…、B_n-1，設(shè)△OBA₁、△A₁B₁A₂、△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄、…、△A_n-1B_n-1A的面積依次為S₁、S₂、S₃、S₄、…、S_n．
①當(dāng)n=2010時(shí)，求S₁+S₂+S₃+S₄+S₅+…+S₂₀₁₀的值；
②試探究：當(dāng)n取到無窮無盡時(shí)，題中所有三角形的面積和將是什么值？為什么？

Answer 1

分析 （1）由n³-（n-1）³=3n²-3n+1公式的n的式子相加推導(dǎo)出1²+2²+3²+4²+…+n²的公式．
（2）①結(jié)合拋物線和（1）中推導(dǎo)出的公式求出S₁+S₂+S₃+S₄+S₅+…+S₂₀₁₀的值；
②當(dāng)n取到無窮無盡時(shí)，取極值，求得三角形的面積．

解答 解：（1）∵n³-（n-1）³=3n²-3n+1，
∴當(dāng)式中的n從1、2、3、…依次取到n時(shí)，就可得下列n個(gè)等式：（2分）
1³-0³=3-3+1，2³-1³=3×2²-3×2+1，3³-2³=3×3²-3×3+1，…，n³-（n-1）³=3n²-3n+1，
將這n個(gè)等式的左右兩邊分別相加得：n³=3×（1²+2²+3²+…+n²）-3×（1+2+3+…+n）+n（2分）
即1²+2²+3²+4²+…+n²=$\frac{{{n^3}+3（1+2+3+…+n）-n}}{3}=\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．（3分）
（2）先求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，3），
∴點(diǎn)A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、…、A_n-1的橫坐標(biāo)分別為$\frac{3}{n}、\frac{6}{n}、\frac{9}{n}、…、\frac{3（n-1）}{n}$，
點(diǎn)B₁、B₂、B₃、B₄、B₅、B₆、…、B_n-1的縱坐標(biāo)分別為$-{（\frac{3}{n}）^2}+2（\frac{3}{n}）+3、-{（\frac{6}{n}）^2}+2（\frac{6}{n}）+3、…、-{[\frac{3（n-1）}{n}]^2}+2×\frac{3（n-1）}{n}+3$．（3分）
∴${S_1}=\frac{9}{2n}，{S_2}=\frac{{9（{n^2}+2n-3）}}{{2{n^3}}}，{S_3}=\frac{{9（{n^2}+4n-12）}}{{2{n^3}}}，…，{S_n}=\frac{{9[{n^2}+2（{n^2}-n）-3{{（n-1）}^2}]}}{{2{n^3}}}$∴${S_1}+{S_2}+{S_3}+…+{S_n}=\frac{{9\{{n^3}+2n（1+2+3+…+n-1）-3[{1^2}+{2^2}+{3^2}+…+{{（n-1）}^2}]\}}}{{2{n^3}}}$=$\frac{{9[{n^3}+2n×\frac{n（n-1）}{2}-3×\frac{n（n-1）（2n-1）}{6}}}{{2{n^3}}}=\frac{{9（2{n^2}+n-1）}}{{4{n^2}}}$．    （3分）
∴①當(dāng)n=2010時(shí)，S₁+S₂+S₃+S₄+S₅+…+S₂₀₀₈=$\frac{{9（2×{{2010}^2}+2009）}}{{4×{{2010}^2}}}=\frac{72739881}{16160400}$；
②∵${S_1}+{S_2}+{S_3}+…+{S_n}=\frac{{9（2{n^2}+n-1）}}{{4{n^2}}}=\frac{9}{2}+\frac{9}{4n}-\frac{9}{{4{n^2}}}$
∴當(dāng)n取到無窮無盡時(shí)，上式的值等于$\frac{9}{2}$，即所有三角形的面積和等于$\frac{9}{2}$． （3分）

點(diǎn)評(píng) 本題通過推導(dǎo)公式考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，題目新穎，有一定的難度．