Question

14．已知橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點分別是F₁，F₂，短軸一個端點M（0，b），直線l：4x+3y=0交橢圓E于A，B兩點，若|AF₁|+|BF₁|=6，點M到直線l的距離不小于$\frac{6}{5}$，則橢圓E的離心率范圍是（　�。�

• A． $（0，\frac{{\sqrt{5}}}{3}]$
• B． $[\frac{{\sqrt{5}}}{3}，1）$
• C． $（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$
• D． $[\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$

Answer 1

分析 設F′為橢圓的左焦點，則四邊形AFBF′是平行四邊形，由此推導出a=3，b≥2．從而能求出橢圓E的離心率范圍．

解答 解：如圖所示，設F′為橢圓的左焦點，
連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′是平行四邊形
∴6=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=3．
取M（0，b），∵點M到直線l：4x+3y=0的距離不小于$\frac{6}{5}$，
∴$\frac{|3b|}{\sqrt{16}+9}$$≥\frac{6}{5}$，解得b≥2．
∴c≤$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$，
∴0＜$\frac{c}{a}$≤$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∴橢圓E的離心率范圍是（0，$\frac{\sqrt{5}}{3}$）．
故選：A．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質、點到直線的距離公式、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．