Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n（n∈N^*），且a₁=

1

2

，S_n=n²a_n，利用歸納推理，猜想{a_n}的通項(xiàng)公式為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：推理和證明

分析：數(shù)列{a_n}中，前n項(xiàng)和為S_n，由a₁=

1

2

，S_n=n²a_n（n∈N^*），可得s₁；由s₂可得a₂的值，從而得s₂；同理可得s₃，s₄；可以猜想此數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答： 解：在數(shù)列{a_n}中，前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=

1

2

，S_n=n²a_n（n∈N^*），
∴s₁=a₁=

1

2

=

1

1×2

；
∴s₂=

1

2

+a₂=4a₂，
∴a₂=

1

6

=

1

2×3

，
∴s₃=

2

3

+a₃=9a₃，
∴a₃=

1

12

=

1

3×4

；
∴s₄=

3

4

+a₄=16a₄，
∴a₄=

1

20

=

1

4×5

4

5

；
…
∴猜想此數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=

1

n(n+1)

．
故答案為：a_n=

1

n(n+1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用遞推公式，通過(guò)歸納推理，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，需要有一定的計(jì)算能力和歸納猜想能力．